Calcule la integral doble de la función f(x, y)=sgn(x^2-y), sobre el rectíngulo [-1,1] times[0,1]

Passo 1

Resumimos la pregunta: queremos calcular la integral doble
sobre el rectángulo [-1,1]times[0,1] de la función
f(x,y)=sgn(x^2-y). Esto cae en el tema de integrales dobles
y manejo de la función signo, y vamos a necesitar particionar la región
en función de dónde cambia el signo de x^2-y.

Passo 2

La función signo se define así: sgn(t)=1 si t>0,
sgn(t)=-1 si t<0, y cero en t=0 (que no aporta
en la integral). Para un x fijo, la línea y=x^2 divide el intervalo
[0,1] en dos trozos: en 0<= y tenemos x^2-y>0 y en
x^2 tenemos x^2-y<0.

Passo 3

En cada trozo calculamos la integral interior en y:
integral0^1sgn(x^2-y),dy = integral0^x^21,dy + integralx^2^1(-1),dy = x^2 - (1-x^2) = 2x^2-1

Passo 4

Ahora integramos respecto a x en [-1,1]:
integral dupla f(x,y),dA = integral-1^1(2x^2-1),dx

Passo 5

Para evaluar usamos fórmulas básicas y simetría:
integral-1^1 2x^2,dx = 2cdot23=43, integral-1^1 1,dx = 2, fuera de bloque
por lo que
integral-1^1(2x^2-1),dx = 43-2 = -23

Passo 6

Así obtenemos el valor final de la integral doble.

Resposta

-tfrac23

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