Considere a função diferenciável z=f(x, y) definida implicitamente por
x^3+y^3+z^3+x y z=0
Determine a taxa de variação da função z=f(x, y) no ponto (0,1) e na direção do vetor (2, 2);

Passo 1

O enunciado define a função z = f(x, y) implicitamente pela equação x³ + y³ + z³ + x y z = 0. Queremos a taxa de variação direcional de z no ponto (0,1) na direção do vetor (2,2). Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter ∂z/∂x e ∂z/∂y e depois aplicar a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente de z com um vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro, determinamos a coordenada z no ponto (0,1). Substituindo x=0 e y=1 em
0^3 + 1^3 + z^3 + 0cdot1cdot z = 0
temos 1 + z^3 = 0, então z^3 = -1 e z = -1. O ponto completo é (0,1,-1).

Passo 3

Definimos a função
F(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 + x y z
e diferenciamos implicitamente F(x,y,z)=0 para x e y. Isso dá
Fx + Fz partial zpartial x = 0, Fy + Fz partial zpartial y = 0
Logo
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de F no ponto (0,1,-1):
Fx = 3x^2 + yz = 3cdot0^2 + 1cdot(-1) = -1,
Fy = 3y^2 + xz = 3cdot1^2 + 0cdot(-1) = 3,
Fz = 3z^2 + xy = 3cdot(-1)^2 + 0cdot1 = 3

Passo 5

Assim
partial zpartial x = --13 = 13, partial zpartial y = -33 = -1

Passo 6

Para a derivada direcional, normalizamos v = (2,2):
u = 1raiz2(1,1)
Então a derivada direcional é
Duz = partial zpartial xux + partial zpartial yuy = 13cdot1raiz2 + (-1)cdot1raiz2 = -23raiz2 = -raiz23

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{3}

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