Considere a função diferenciável
definida implicitamente por
Determine a taxa de variação da função
no ponto
e na direção do vetor (2, 2);
Passo 1
O enunciado define a função z = f(x, y) implicitamente pela equação x³ + y³ + z³ + x y z = 0. Queremos a taxa de variação direcional de z no ponto (0,1) na direção do vetor (2,2). Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter ∂z/∂x e ∂z/∂y e depois aplicar a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente de z com um vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Primeiro, determinamos a coordenada z no ponto (0,1). Substituindo x=0 e y=1 em
temos 1 + z^3 = 0, então z^3 = -1 e z = -1. O ponto completo é (0,1,-1).
Passo 3
Definimos a função
e diferenciamos implicitamente F(x,y,z)=0 para x e y. Isso dá
Logo
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de F no ponto (0,1,-1):
Passo 5
Assim
Passo 6
Para a derivada direcional, normalizamos v = (2,2):
Então a derivada direcional é
Resposta
-\frac{\sqrt{2}}{3}