Considere a função
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Temos a função z = f(x,y) = x^{3} + 2 x y + y^{2} - 5 x e queremos achar o plano tangente ao seu gráfico no ponto (0,2,4). O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a superfícies definidas por z = f(x,y).
Passo 2
Para garantir que (0,2,4) realmente pertence ao gráfico, substituímos x=0 e y=2 em f:
como o resultado é 4, o ponto está no gráfico.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de f:
Passo 4
Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto (0,2):
Passo 5
Por fim, montamos a equação do plano tangente usando
onde (a,b,z_0)=(0,2,4). Substituindo, fica:
Passo 6
Expandindo e isolando z, obtemos a forma final do plano tangente.
Resposta
z = -x + 4y - 4