Considere a função
z=f(x, y)=x^3+2 x y+y^2-5 x
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x, y) no ponto (0,2,4).

Passo 1

Temos a função z = f(x,y) = x^{3} + 2 x y + y^{2} - 5 x e queremos achar o plano tangente ao seu gráfico no ponto (0,2,4). O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a superfícies definidas por z = f(x,y).

Passo 2

Para garantir que (0,2,4) realmente pertence ao gráfico, substituímos x=0 e y=2 em f:
f(0,2)=0^3+2cdot0cdot2+2^2-5cdot0=4,
como o resultado é 4, o ponto está no gráfico.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial x(x^3+2xy+y^2-5x)=3x^2+2y-5,
fy(x,y)=partialpartial y(x^3+2xy+y^2-5x)=2x+2y

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto (0,2):
fx(0,2)=3cdot0^2+2cdot2-5=-1,
fy(0,2)=2cdot0+2cdot2=4

Passo 5

Por fim, montamos a equação do plano tangente usando
z-z0=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b),
onde (a,b,z_0)=(0,2,4). Substituindo, fica:
z-4=(-1)(x-0)+4(y-2)

Passo 6

Expandindo e isolando z, obtemos a forma final do plano tangente.

Resposta

z = -x + 4y - 4

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