Calcule a integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD yx^5+1,dA sobre a região D = (x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x^2. Vamos usar integração iterada em coordenadas cartesianas e, em seguida, uma substituição simples.

Passo 2

Escrevemos a integral como integral iterada em y primeiro e em x depois:
integral duplaD yx^5+1,dA = integralx=0^1!l(integraly=0^x^2 yx^5+1,dyr),dx
Como x é constante na integral interna, podemos tirar 1/(x^5+1) para fora:
integral0^1 1x^5+1 l(integral0^x^2 y,dyr) dx
A integral integral0^x^2 y,dy = l[y^2/2r]0^x^2 = x^4/2. Logo a dupla integral vira
integral0^1 x^4/2x^5+1,dx = 12 integral0^1 x^4x^5+1,dx

Passo 3

Para avaliar integral0^1 x^4x^5+1,dx, usamos a substituição
$$u = x^5 + 1,\quad du = 5x^4,dx \implies x^4,dx = \frac{du}{5}.
u = x^5 + 1, du = 5x^4,dx implies x^4,dx = du5 \int_{0}^{1} \frac{x4}{x5+1},dx = \int_{u=1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{5} = \frac15 \int_{1}^{2} \frac{du}{u} = \frac15 [\ln u]_{1}^{2} = \frac{1}{5} \ln 2.$$
Não esqueça do fator x=0 que estava fora da integral, então o resultado final é
u=1

Resposta

ln 210

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