Calcule.
integral0^1 integralx^2^x(1+2 y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada que, interpretando a ordem natural das variáveis, fica assim:

Passo 2

integral0^1 integralx^2^x (1 + 2y) ,dy,dx
Conteúdo: integrais duplas e cálculo de integrais iteradas. Vamos primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. A primitiva de 1 + 2y em relação a y é
integral (1 + 2y) ,dy = y + y^2 + C

Passo 4

Avaliar essa primitiva de y = x^2 até y = x:
(y + y^2)l|x^2^x = l(x + x^2r) - l(x^2 + x^4r) = x - x^4
Então a integral interna vira a função f(x) = x - x^4.

Passo 5

Agora integramos f(x) de 0 a 1 em relação a x:
integral0^1 (x - x^4) ,dx
A primitiva de x - x^4 é

Passo 6

Calcular a primitiva em x e avaliar nos limites:

Passo 7

integral (x - x^4) ,dx = x^22 - x^55 + C
Logo,
l(x^22 - x^55r)l|0^1 = l(12 - 15r) - 0 = 310

Resposta

310

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