Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral-2^2 integral0^raiz4-x f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar a região R definida por −2 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ √(4 − x), e depois trocar a ordem de integração. Vamos usar geometria no plano xy e a relação y ≤ √(4 − x) que equivale a x ≤ 4 − y².

Passo 2

As fronteiras de R são: a reta y = 0 (eixo x), as retas verticais x = −2 e x = 2, e a curva y = √(4 − x), que em forma invertida é x = 4 − y². Esboce essas curvas para visualizar R.

Passo 3

Para inverter a ordem, resolvemos y ≤ √(4 − x) em função de x: isso dá x ≤ 4 − y². Mantemos também −2 ≤ x ≤ 2. Então, para cada y, x varia de −2 até o menor valor entre 2 e 4 − y².

Passo 4

Precisamos achar o intervalo de y. O valor mínimo é y = 0. O máximo ocorre quando x atinge seu menor valor (−2) na curva: y_max = √(4 − (−2)) = √6. Mas há ponto de quebra em que 4 − y² = 2, isto é y = √2. Para 0 ≤ y ≤ √2 temos 4 − y² ≥ 2, e para √2 ≤ y ≤ √6 temos 4 − y² ≤ 2.

Passo 5

Logo, a integral com ordem trocada fica soma de dois integrais:
$$\int_{y=0}{\sqrt2}\int_{x=-2}{2}f(x,y),dx,dy;+
\int_{y=\sqrt2}{\sqrt6}\int_{x=-2}{4-y^2}f(x,y),dx,dy.$$

Resposta

A ordem invertida é
integral0^raiz2integral-2^2f(x,y),dx,dy +integralraiz2^raiz6integral-2^4 - y^2f(x,y),dx,dy

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