Calcule a integral dupla.
integral duplaR x sen(x+y) d A, R=[0, pi / 6] times[0, pi / 6]

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral dupla integral duplaR xsin(x+y),dA, onde o domínio é o retângulo R=[0,pi/6]times[0,pi/6]. O conteúdo principal envolve integrais duplas e uso de integração iterada e por partes.

Passo 2

Escolha da ordem de integração: vamos integrar primeiro em relação a y. O integral interno fica
integral0^pi/6sin(x+y),dy = -cos(x+y)|0^pi/6 = cos(x)-cosl(x+tfracpi6r)
Então
integral duplaR xsin(x+y),dA = integral0^pi/6 xl[cos(x)-cosl(x+tfracpi6r)r],dx

Passo 3

Separação em duas integrais: denotamos
I1 = integral0^pi/6 xcos(x),dx, I2 = integral0^pi/6 xcosl(x+tfracpi6r),dx
Assim a integral original é I1 - I2.

Passo 4

Cálculo de I1 por partes: escolhemos u=x, dv=cos x,dx. Então
I1 = integral0^pi/6 xcos x,dx = l[xsin xr]0^pi/6 - integral0^pi/6sin x,dx = pi12 + raiz32 -1

Passo 5

Cálculo de I2 trocando a variável t = x+tfracpi6. A integral vira
I2 = integralpi/6^pi/3(t-tfracpi6)cos t,dt = integralpi/6^pi/3tcos t,dt - pi6integralpi/6^pi/3cos t,dt
Usando
integral tcos t,dt = tsin t + cos t, integral cos t,dt = sin t,
obtemos
integralpi/6^pi/3tcos t,dt = pi2raiz3-112 + 1-raiz32, integralpi/6^pi/3cos t,dt = raiz3-12
Logo
I2 = piraiz312 + 1-raiz32

Passo 6

Montagem final e simplificação: a integral é
I = I1 - I2 = l(pi12 + raiz32 -1r) - l(piraiz312 + 1-raiz32r) = pi(1-raiz3) + 12raiz3 - 1812

Resposta

pi(1-raiz3) + 12raiz3 - 1812

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