Questão 1 (20 pontos)
Considere a função
f(x)= x+2, & x<2 a x^2-b x+3, & 2 <= x<3 2 x-a+b, & x >= 3
Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte.
Questão 2 ( 20 pontos)

Passo 1

No exercício, temos uma função por partes f(x)=x+2,&x<2a x^2 - b x +3,&2<= x<32x - a + b,&x>=3. O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes, e vamos usar que em cada ponto de mudança a esquerda e a direita devem coincidir.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=2, calculamos o limite pela esquerda: f(2^-)=2+2=4, e o valor pela direita (ou no ponto) pela segunda definição:
f(2^+)=acdot2^2 - bcdot2 + 3 = 4a - 2b + 3
Igualando f(2^-)=f(2^+) obtemos
4a - 2b + 3 = 4 ,Longrightarrow,4a - 2b = 1

Passo 3

Para garantir continuidade em x=3, calculamos o limite pela esquerda usando a segunda parte:
f(3^-)=acdot3^2 - bcdot3 + 3 = 9a - 3b + 3,
e pela direita (ou no ponto) usando a terceira parte:
f(3^+)=2cdot3 - a + b = 6 - a + b
Igualando f(3^-)=f(3^+) obtemos
9a - 3b + 3 = 6 - a + b ,Longrightarrow,10a - 4b = 3

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear:
4a - 2b = 1 10a - 4b = 3
Podemos dividir a primeira equação por 2: 2a - b = 0,5 (logo b = 2a - 0,5). Substituindo na segunda:
10a - 4(2a - 0,5) = 3 Longrightarrow 10a - 8a + 2 = 3 Longrightarrow 2a = 1 Longrightarrow a = tfrac12
Então b = 2(tfrac12) - 0,5 = 1 - 0,5 = tfrac12

Passo 5

Concluímos que os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte são obtidos satisfazendo as condições em x=2 e x=3, resultando em a = tfrac12 e b = tfrac12.

Resposta

Os valores são a = tfrac12 e b = tfrac12.

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