Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte.
Questão 2 ( 20 pontos)
Passo 1
No exercício, temos uma função por partes f(x)=x+2,&x<2a x^2 - b x +3,&2<= x<32x - a + b,&x>=3. O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes, e vamos usar que em cada ponto de mudança a esquerda e a direita devem coincidir.
Passo 2
Para garantir continuidade em x=2, calculamos o limite pela esquerda: f(2^-)=2+2=4, e o valor pela direita (ou no ponto) pela segunda definição:
f(2^+)=acdot2^2 - bcdot2 + 3 = 4a - 2b + 3
Igualando f(2^-)=f(2^+) obtemos
4a - 2b + 3 = 4 ,Longrightarrow,4a - 2b = 1
Passo 3
Para garantir continuidade em x=3, calculamos o limite pela esquerda usando a segunda parte:
f(3^-)=acdot3^2 - bcdot3 + 3 = 9a - 3b + 3,
e pela direita (ou no ponto) usando a terceira parte:
f(3^+)=2cdot3 - a + b = 6 - a + b
Igualando f(3^-)=f(3^+) obtemos
9a - 3b + 3 = 6 - a + b ,Longrightarrow,10a - 4b = 3
Passo 4
Agora resolvemos o sistema linear:
4a - 2b = 1 10a - 4b = 3
Podemos dividir a primeira equação por 2: 2a - b = 0,5 (logo b = 2a - 0,5). Substituindo na segunda:
Concluímos que os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte são obtidos satisfazendo as condições em x=2 e x=3, resultando em a = tfrac12 e b = tfrac12.