Questão 4 (20 pontos)
Mostre que, dado
, sempre existe
tal que
.
Mostre que, dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer real c, a equação
tem solução em
. Vamos usar teoria de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Definimos a função
por
O denominador
é sempre positivo, então
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos os limites nas infinitudes:
Passo 4
Como
é contínua e seus limites nos extremos do domínio vão de
a
, pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer
existe
tal que
.
Resposta
Para todo
existe
com
.