Questão 4 (20 pontos)
Mostre que, dado c in R, sempre existe x in R tal que x^7+32+x^2=c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer real c, a equação x^7+32+x^2=c tem solução em R. Vamos usar teoria de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Definimos a função f:RtoR por
f(x)=x^7+32+x^2
O denominador 2+x^2 é sempre positivo, então f é contínua em R.

Passo 3

Calculamos os limites nas infinitudes:
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyx^7(1+3/x^7)x^2(2/x^2+1)=limxto+inftyx^5=+infty,
limxto-inftyf(x)=limxto-inftyx^5=-infty

Passo 4

Como f é contínua e seus limites nos extremos do domínio vão de -infty a +infty, pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer cinR existe xinR tal que f(x)=c.

Resposta

Para todo cinR existe xinR com x^7+32+x^2=c.

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