Calcule a integral dupla de f(x, y)=3 x^2+4 x e^y definida na região R determinada por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 9.
Escolha uma opção:
a. 272+2(1e^9-1)
b. 9+2(e^9-1)
c. 272+2(e^9-1)
d. 272+43(e^9-1)
e. 9+2(1e^9-1)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é uma integral dupla da função $ f(x, y) = 3x^{2} + 4x e^{y} $ sobre a região $ R $ definida por $ 0 \leq x \leq \frac{1}{e} $ e $ 0 \leq y \leq 9 $. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais duplas e entender um pouquinho das propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Basicamente, estamos calculando o “volume” sob a superfície da função $ f(x, y) $ na região $ R $. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos começar integrando a função $ f(x, y) $ em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante. A integral de $ 3x^{2} $ em relação a $ y $ é $ 3x^{2}y $, e a integral de $ 4x e^{y} $ em relação a $ y $ é $ 4x e^{y} $. Então, a integral de $ f(x, y) $ de $ y = 0 $ até $ y = 9 $ fica:
f(x, y)

Passo 4

Agora, temos uma função de $ x $ para integrar de $ x = 0 $ até $ x = \frac{1}{e} $. A integral fica:
x

Passo 5

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
27 integral0^1e x^2 , dx + 4(e^9 - 1) integral0^1e x , dx

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral x^2 , dx = x^33
    Avaliado de $ 0 $ a $ \frac{1}{e} $:
    0
  2. 1e
    Avaliado de $ 0 $ a $ \frac{1}{e} $:
    13 ( 1e )^3 - 0 = 13e^3

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
27 cdot 13e^3 + 4(e^9 - 1) cdot 12e^2 = 273e^3 + 4(e^9 - 1)2e^2 = 9e^3 + 2(e^9 - 1)e^2

Passo 8

Simplificando os termos:
9e^3 + 2(e^9 - 1)e^2 = 9e^-3 + 2(e^9 - 1)e^-2 = 272 + 2(e^9 - 1)

Resposta

A integral dupla vale $ \frac{27}{2} + 2\left(e^{9} - 1\right) $. Portanto, a resposta correta é a opção c. $ \frac{27}{2} + 2\left(e^{9} - 1\right) $.

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