Calcule a integral dupla de
definida na região R determinada por
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é uma integral dupla da função $ f(x, y) = 3x^{2} + 4x e^{y} $ sobre a região $ R $ definida por $ 0 \leq x \leq \frac{1}{e} $ e $ 0 \leq y \leq 9 $. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais duplas e entender um pouquinho das propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Basicamente, estamos calculando o “volume” sob a superfície da função $ f(x, y) $ na região $ R $. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos começar integrando a função $ f(x, y) $ em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante. A integral de $ 3x^{2} $ em relação a $ y $ é $ 3x^{2}y $, e a integral de $ 4x e^{y} $ em relação a $ y $ é $ 4x e^{y} $. Então, a integral de $ f(x, y) $ de $ y = 0 $ até $ y = 9 $ fica:
Passo 4
Agora, temos uma função de $ x $ para integrar de $ x = 0 $ até $ x = \frac{1}{e} $. A integral fica:
Passo 5
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Calculando cada integral separadamente:
-
Avaliado de $ 0 $ a $ \frac{1}{e} $:
-
Avaliado de $ 0 $ a $ \frac{1}{e} $:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Passo 8
Simplificando os termos:
Resposta
A integral dupla vale $ \frac{27}{2} + 2\left(e^{9} - 1\right) $. Portanto, a resposta correta é a opção c. $ \frac{27}{2} + 2\left(e^{9} - 1\right) $.