Exercício 4. Seja phi: R R uma função derivável e sejam x partial gpartial x(x, y)+y partial gpartial x(x, y)=2 g(x, y) . Verifique que vale:

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para uma função derivável phi: Rto R e g(x,y)=(x^2+y^2),phil(tfracxyr), vale a identidade
x\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2\,g(x,y).
O conteúdo principal envolve derivadas parciais, a regra do produto, a regra da cadeia e o conceito de função homogênea (teorema de Euler).

Passo 2

Para calcular tfracpartial gpartial x(x,y), aplicamos a regra do produto em (x^2+y^2) e a regra da cadeia em phi(x/y). Sabemos que
partial (x^2+y^2)partial x=2x,
partialpartial xl(tfracxyr)=tfrac1y
Logo,

Passo 3

partial gpartial x(x,y) =2x,phil(tfracxyr) +(x^2+y^2),phi'l(tfracxyr)cdottfrac1y

Passo 4

Para calcular tfracpartial gpartial y(x,y), usamos novamente a regra do produto e a cadeia. Temos
partial (x^2+y^2)partial y=2y,
partialpartial yl(tfracxyr)=-tfracxy^2
Assim,

Passo 5

partial gpartial y(x,y) =2y,phil(tfracxyr) +(x^2+y^2),phi'l(tfracxyr)cdotl(-tfracxy^2r)

Passo 6

Agora formamos
xpartial gpartial x+ypartial gpartial y =xl(2xphi+(x^2+y^2)phi'tfrac1yr) +yl(2yphi-(x^2+y^2)phi'tfracxy^2r)
Expandindo e observando que os termos com phi' se cancelam, resta

Passo 7

2x^2phi+2y^2phi =2(x^2+y^2)phil(tfracxyr) =2,g(x,y)

Resposta

x\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2,g(x,y)

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