Exercício 4. Seja
uma função derivável e sejam
. Verifique que vale:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para uma função derivável
e
, vale a identidade
x\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2\,g(x,y).
O conteúdo principal envolve derivadas parciais, a regra do produto, a regra da cadeia e o conceito de função homogênea (teorema de Euler).
Passo 2
Para calcular
, aplicamos a regra do produto em
e a regra da cadeia em
. Sabemos que
Logo,
Passo 3
Passo 4
Para calcular
, usamos novamente a regra do produto e a cadeia. Temos
Assim,
Passo 5
Passo 6
Agora formamos
Expandindo e observando que os termos com
se cancelam, resta
Passo 7
Resposta
x\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2,g(x,y)