Mostre que .

Passo 1

A questão pede para calcular a integral indefinida integral 2xx^2+3,dx. O conteúdo envolvido é o método de substituição em integrais, e vamos precisar reconhecer que a derivada de x^2+3 aparece no numerador.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = x^2+3. Então, calculamos a diferencial:
du = 2x,dx
Isso mostra que 2x,dx pode ser substituído por du.

Passo 3

Substituindo na integral original temos:
integral 2xx^2+3,dx = integral duu
Agora reduzimos o problema a uma integral básica.

Passo 4

Sabendo que integral duu = ln|u| + C, temos:
integral duu = ln|u| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x, lembrando que u = x^2+3 e que x^2+3>0, o que permite tirar o valor absoluto. Assim:
ln|u| + C = lnl(x^2+3r) + C

Resposta

ln(x^2+3)+C

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