Calcule a integral dupla convertendo primeiro para coordenadas polares.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy\,dx
sobre a região superior do disco de raio 1. O conteúdo aqui é conversão para coordenadas polares, onde usaremos \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r; e o fator de escala r do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas polares a região é
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le\pi,
pois cobrimos todo o semicírculo de y\ge0. O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r e dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1}r\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{1}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.
Em seguida integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{3}\,d\theta =\frac{1}{3}\,\pi =\frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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