Calcule \iint_{D} \frac{x^{3}}{y^{2}} d A \operatorname{com} D a região limitada por y=\frac{1}{x^{2}}, x=1 e y=\frac{1}{4} na seguinte ordem:
(a) Integrando com respeito a x primeiro e então com respeito a y.
(b) Integrando com respeito a y primeiro e então com respeito a x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dA
onde D é a região limitada pelas curvas y=\tfrac1{x^{2}}, x=1 e y=\tfrac14.
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para escrever a integral em duas ordens diferentes de integração e depois executar as integrais iteradas.

Passo 2

Para a ordem (a) — integrar primeiro em x e depois em y — precisamos descrever D como
\tfrac14\le y\le1, \quad 1\le x\le \frac1{\sqrt{y}}.
Logo o integral fica
\int_{y=\tfrac14}^{1}\Bigl[\int_{x=1}^{1/\sqrt{y}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dx\Bigr]\,dy.

Passo 3

Calculemos a integral interna em x:
\int_{1}^{1/\sqrt{y}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dx =\frac1{y^{2}}\int_{1}^{1/\sqrt{y}}x^{3}\,dx =\frac1{y^{2}}\Bigl[\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{1/\sqrt{y}} =\frac1{4y^{2}}\Bigl(\frac1{y^{2}}-1\Bigr).

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{\tfrac14}^{1}\frac1{4y^{2}}\Bigl(\frac1{y^{2}}-1\Bigr)\,dy =\frac14\int_{\tfrac14}^{1}\bigl(y^{-4}-y^{-2}\bigr)\,dy.
As primitivas são \int y^{-4}dy=-\frac1{3y^{3}} e \int y^{-2}dy=-y^{-1}.
Substituindo e avaliando em y=1/4 e y=1 obtemos
\frac14\Bigl[\Bigl(-\frac1{3y^{3}}+\frac1y\Bigr)\Bigr]_{\tfrac14}^{1} =\frac14\bigl(2/3-(-52/3)\bigr) =\frac14\cdot18 =\frac92.

Passo 5

Para a ordem (b) — integrar primeiro em y e depois em x — descrevemos D como
1\le x\le2, \quad \tfrac14\le y\le \frac1{x^{2}}.
A integral fica
\int_{x=1}^{2}\Bigl[\int_{y=\tfrac14}^{1/x^{2}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dy\Bigr]\,dx.

Passo 6

Calculemos a integral interna em y:
\int_{\tfrac14}^{1/x^{2}}\frac{x^{3}}{y^{2}}\,dy =x^{3}\int_{\tfrac14}^{1/x^{2}}y^{-2}\,dy =x^{3}\Bigl[-\frac1y\Bigr]_{\tfrac14}^{1/x^{2}} =x^{3}\bigl(-x^{2}+4\bigr) =-x^{5}+4x^{3}.

Passo 7

Agora integramos em x:
\int_{1}^{2}(-x^{5}+4x^{3})\,dx =\Bigl[-\frac{x^{6}}{6}+x^{4}\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(16/3\bigr)-\bigl(5/6\bigr) =\frac{27}{6} =\frac92.

Resposta

Em ambas as ordens de integração o valor da integral é \displaystyle \frac92.

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