Calcule
a região limitada por
e
na seguinte ordem:
(a) Integrando com respeito a
primeiro e então com respeito a
.
(b) Integrando com respeito a
primeiro e então com respeito a
.
(a) Integrando com respeito a
(b) Integrando com respeito a
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas curvas
,
e
.
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para escrever a integral em duas ordens diferentes de integração e depois executar as integrais iteradas.
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para escrever a integral em duas ordens diferentes de integração e depois executar as integrais iteradas.
Passo 2
Para a ordem (a) — integrar primeiro em
e depois em
— precisamos descrever
como
Logo o integral fica
Passo 3
Calculemos a integral interna em
:
Passo 4
Agora integramos em
:
As primitivas são
e
.
Substituindo e avaliando em e
obtemos
Substituindo e avaliando em
Passo 5
Para a ordem (b) — integrar primeiro em
e depois em
— descrevemos
como
A integral fica
Passo 6
Calculemos a integral interna em
:
Passo 7
Agora integramos em
:
Resposta
Em ambas as ordens de integração o valor da integral é
.