Calcule a integral dupla convertendo primeiro para coordenadas polares.
\int_{-2}^{0} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} x^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{y=-2}^{0}\int_{x=-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}}x^{2}\,dx\,dy
sobre o semicírculo de raio 2 com y\le0. Vamos usar coordenadas polares, onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta,
e o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Logo o integrando fica
x^{2}\,dA = r^{2}\cos^{2}\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

Precisamos determinar os limites em (r,\theta). O semicírculo de raio 2 com y\le0 corresponde a
0 \le r \le 2, \qquad -\pi \le \theta \le 0.
Assim a integral separa-se em produto radial e angular:
\int_{-\pi}^{0}\int_{0}^{2}r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\Bigr)\;\Bigl(\int_{-\pi}^{0}\cos^{2}\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 4

Calculemos cada parte:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} =4.
Para o angular usamos a identidade \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
\int_{-\pi}^{0}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira parte é
\frac{1}{2}\bigl[\,\theta\bigr]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{2}(0 - (-\pi)) = \frac{\pi}{2},
e a segunda parte é nula pois \int_{-\pi}^{0}\cos(2\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\big|_{-\pi}^{0}=0.
Logo
\int_{-\pi}^{0}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Multiplicando as duas partes obtemos
4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi.

Resposta

2\pi

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