Calcule a integral dupla convertendo primeiro para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre o semicírculo de raio 2 com
. Vamos usar coordenadas polares, onde
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e o elemento de área é
Logo o integrando fica
Passo 3
Precisamos determinar os limites em
. O semicírculo de raio 2 com
corresponde a
Assim a integral separa-se em produto radial e angular:
Passo 4
Calculemos cada parte:
Para o angular usamos a identidade
:
A primeira parte é
e a segunda parte é nula pois
.
Logo
Passo 5
Multiplicando as duas partes obtemos