Calcule a integral dupla do disco de raio 2 , centrado na origem: R=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 4\},
que é o disco de raio 2 centrado na origem. A tarefa é calcular a integral dupla sobre R. Como o enunciado não especifica uma função dentro da integral, vou interpretar a pergunta como calcular a integral dupla da função constante 1 sobre R, isto é o valor
\iint_{R} 1\,dA,
que corresponde à área da região R. Vou seguir resolvendo com essa interpretação.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Vou explicar de forma didática: a região R é um disco (simétrica em torno da origem), e coordenadas polares combinam direitinho com essa simetria. Em coordenadas polares cada ponto do plano é dado por dois números:
  • r, a distância do ponto à origem, com r\geq 0;
  • \theta, o ângulo que o raio faz com o eixo x, com \theta variando tipicamente entre 0 e 2\pi.
Em provas é padrão: quando a região é um círculo/disco, passe para polares — isso simplifica muito as integrais.

Passo 3

Transição para coordenadas polares — definições e o elemento de área.
As relações entre as coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) são
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Agora o elemento de área dA em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta; vem um fator r chamado Jacobiano. Vou mostrar de onde sai esse fator de forma explícita:
Considere a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana das derivadas parciais é
J=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det J = (\cos\theta)(r\cos\theta)-(-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^{2}\theta + r\sin^{2}\theta = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Portanto o elemento de área transforma como
dA = |\det J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.
Aqui r é exatamente a distância ao centro e aparece porque pequenos retângulos em (r,\theta) correspondem a pequenas “anéis” em (x,y) cuja área cresce com r.]

Passo 4

Determinar os limites de integração em polares.
A região R é o disco de raio 2. Em polares isso significa:
0\leq r\leq 2,\qquad 0\leq \theta\leq 2\pi.
Assim a integral desejada fica
\iint_{R} 1\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} 1\cdot r\,dr\,d\theta.
Expliquei o que cada símbolo significa: r é o raio, \theta é o ângulo, e o r dentro da integral vem do Jacobiano (o fator de mudança de variável).

Passo 5

Calcular a integral interna (em r) passo a passo.
A integral interna é
\int_{r=0}^{2} r\,dr.
Use a primitiva de r, que é \tfrac{1}{2}r^{2}. Então
\int_{0}^{2} r\,dr = \left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 0^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.

Passo 6

Calcular a integral externa (em \theta) e concluir.
Agora integramos em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} 2\,d\theta = 2\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = 2\cdot(2\pi-0)=4\pi.
Portanto
\iint_{R} 1\,dA = 4\pi.
Observação prática: isso bate com a fórmula conhecida da área do disco, \text{área}=\pi R^{2}á. Aqui R=2 e \pi\cdot 2^{2}=4\pi, mesma resposta — é sempre bom checar com uma fórmula conhecida para ter confiança.

Passo 7

Pequeno reforço e ânimo. Se na prova aparecer um disco de raio a, já pode ir direto pensando em polares: os limites serão 0\le r\le a, 0\le\theta\le2\pi, e a integral da constante 1 \pi a^{2}. Você já fez o trabalho pesado aqui; repete esse raciocínio algumas vezes e pega ritmo. Vai dar certo!

Resposta

4\pi

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