Calcule a integral dupla do disco de raio 2 , centrado na origem:
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto
que é o disco de raio
centrado na origem. A tarefa é calcular a integral dupla sobre
. Como o enunciado não especifica uma função dentro da integral, vou interpretar a pergunta como calcular a integral dupla da função constante
sobre
, isto é o valor
que corresponde à área da região
. Vou seguir resolvendo com essa interpretação.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Vou explicar de forma didática: a região
é um disco (simétrica em torno da origem), e coordenadas polares combinam direitinho com essa simetria. Em coordenadas polares cada ponto do plano é dado por dois números:
-
, a distância do ponto à origem, com ; -
, o ângulo que o raio faz com o eixo , com variando tipicamente entre e .
Em provas é padrão: quando a região é um círculo/disco, passe para polares — isso simplifica muito as integrais.
Passo 3
Transição para coordenadas polares — definições e o elemento de área.
As relações entre as coordenadas cartesianas
e polares
são
Agora o elemento de área
em coordenadas polares não é simplesmente
; vem um fator
chamado Jacobiano. Vou mostrar de onde sai esse fator de forma explícita:
Considere a transformação
. A matriz jacobiana das derivadas parciais é
O determinante dessa matriz é
Portanto o elemento de área transforma como
Aqui
é exatamente a distância ao centro e aparece porque pequenos retângulos em
correspondem a pequenas “anéis” em
cuja área cresce com
.]
Passo 4
Determinar os limites de integração em polares.
A região
é o disco de raio
. Em polares isso significa:
Assim a integral desejada fica
Expliquei o que cada símbolo significa:
é o raio,
é o ângulo, e o
dentro da integral vem do Jacobiano (o fator de mudança de variável).
Passo 5
Calcular a integral interna (em
) passo a passo.
A integral interna é
Use a primitiva de
, que é
. Então
Passo 6
Calcular a integral externa (em
) e concluir.
Agora integramos em
:
Portanto
Observação prática: isso bate com a fórmula conhecida da área do disco,
. Aqui
e
, mesma resposta — é sempre bom checar com uma fórmula conhecida para ter confiança.
Passo 7
Pequeno reforço e ânimo. Se na prova aparecer um disco de raio
, já pode ir direto pensando em polares: os limites serão
,
, e a integral da constante
dá
. Você já fez o trabalho pesado aqui; repete esse raciocínio algumas vezes e pega ritmo. Vai dar certo!