Por que o exercício 6 da Lista 4 não contradiz o Teorema de Green?
Passo 1
O que a pergunta pede: entender por que o resultado do exercício 6 da Lista 4 não entra em contradição com o Teorema de Green.
Informações relevantes (inferidas do tipo clássico desse exercício — não foi enviada a questão, então uso o exemplo mais comum que gera essa dúvida):
- O enunciado dá um campo vetorial
no plano que é suave em toda parte exceto possivelmente em um ponto isolado (por exemplo, a origem). - Calcula-se que
em todos os pontos onde está definido. - Porém, ao calcular a integral de linha ao longo de uma curva fechada simples que envolve o ponto singular (por exemplo, a circunferência unitária centrada na origem), obtém-se um valor não nulo para
. - A dúvida: se o rotacional (a quantidade dentro da integral dupla do Teorema de Green) é zero, não deveria a integral de linha fechada ser zero por Green?
Passo 2
Enunciado do Teorema de Green (forma usada aqui) e hipóteses explicadas como numa aulinha:
onde:
-
é uma curva fechada simples e positivamente orientada que é fronteira de uma região plana ; -
e têm derivadas parciais e contínuas em uma vizinhança aberta que contém (ou seja, e são em um aberto contendo ).
Importante destacar em linguagem simples: Green exige que o campo seja bem comportado (derivadas contínuas) em toda a região interior (e numa vizinhança) do contorno. Se houver um ponto onde o campo não está definido ou onde as derivadas deixam de ser contínuas dentro de
, não se pode aplicar diretamente o teorema àquela região inteira.
Passo 3
Apresentando o exemplo clássico que gera a confusão (isso provavelmente é o que o exercício 6 usou): seja
Vamos verificar duas coisas: o “rotacional” e a integral de linha na circunferência unitária.
Primeiro calculemos o rotacional (ou a quantidade escalar
) para
. Faço passo a passo:
-
. -
.
Calcular
:
Calcular
:
Então
para todo
. Ou seja, o rotacional é zero em todo ponto onde
está definido.
Passo 4
Agora calcule a integral de linha ao longo da circunferência unitária
(parametrização clássica). Parametrização:
,
. Então
.
Avalio
:
pois
.
O produto escalar
fica
Logo
que é diferente de zero. Aí vem a aparente contradição: rotacional zero mas integral de linha não nula.
Passo 5
Por que não há contradição? A explicação direta e simples:
- O Teorema de Green não pode ser aplicado aqui porque a hipótese de regularidade falha:
não está definida nem tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança que contenha toda a região interior de (a origem está dentro da curva e é precisamente um ponto onde tem singularidade). - Em outras palavras, o domínio onde
é é o plano com a origem removida, . Esse conjunto não contém o disco inteiro limitado por ; portanto não se satisfaz a hipótese “derivadas contínuas em um aberto contendo ”. - Como consequência, a igualdade do Teorema de Green
não é garantida para esse
. Logo o cálculo da integral de linha não contradiz o teorema — simplesmente o teorema não é aplicável no caso por falta das hipóteses.
Passo 6
Comentário prático sobre como tratar esses casos (para a prova):
- Sempre verifique as hipóteses antes de aplicar um teorema: para Green, cheque se
e (e suas derivadas parciais relevantes) são contínuas em todo o interior da curva e numa vizinhança aberta. - Se houver pontos singulares dentro da região, uma técnica útil é remover um pequeno disco em torno de cada singularidade e aplicar Green na região anelar (entre o contorno externo e o contorno do buraco). Isso leva à relação entre a integral no contorno externo e a soma das integrais nos contornos dos buracos — daí aparecem contribuições não nulas que explicam o valor da integral.
- No exemplo acima, aplicando Green na região entre uma circunferência pequena ao redor da origem e a circunferência unitária e depois levando o raio do círculo pequeno a zero, obtém-se exatamente a contribuição
.
Resposta
Porque falha uma hipótese essencial do Teorema de Green: o campo vetorial do exercício não tem derivadas parciais contínuas (ou nem sequer está definido) em toda a região interior da curva considerada — há uma singularidade (por exemplo, na origem) dentro da região — logo o teorema não se aplica e não há contradição.