Um lote retangular tem dimensōes 0 \leq x \leq 30 \mathrm{~m} e 0 \leq y \leq 20 \mathrm{~m}. A espessura do aterro necessária é dada por: h(x, y)=0,5+0,02 x+0,01 y. Calcule o volume total de aterro necessário:
V=\iint_{R} h(x, y) d A

Passo 1

O enunciado pede calcular o volume total de aterro
V=\iint_{R} h(x,y)\,dA,
onde a região R e a função altura h são dadas. Informações fornecidas:
  • Região R: \;0 \leq x \leq 30\\ \mathrm{m},\;0 \leq y \leq 20\\ \mathrm{m}.
  • Função espessura (altura do aterro): \;h(x,y)=0,5+0,02x+0,01y (unidades em metros).
  • O diferencial de área é \;dA=\,dx\,dy (ou \,dy\,dx).
    A pergunta é: calcular explicitamente o valor numérico do volume V (em metros cúbicos).

Passo 2

O que significa a integral dupla aqui e como vamos proceder (explicação didática):
  • A integral dupla \iint_{R} h(x,y)\,dA soma a contribuição de h(x,y) em cada pedacinho de área da região R. Geometricamente, integra-se a altura sobre cada área para obter volume.
  • Para uma região retangular qualquer \;[a,b]\times[c,d], vale que a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (regra de Fubini): podemos escrever
\iint_{R} h(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{b}\!\left(\int_{y=c}^{d} h(x,y)\,dy\right)\!dx
ou integrando na ordem inversa. Aqui a=0,b=30,c=0,d=20.
  • Como h(x,y) é uma função polinomial simples (linear em x e y), a integração é direta termo a termo: integra-se cada termo em y (ou x) usando as regras básicas \int c\,dy = c y e \int y\,dy = \tfrac{y^2}{2}.

Passo 3

Montar a integral iterada e calcular a integral interna (integrando primeiro em y):
V=\int_{x=0}^{30}\left(\int_{y=0}^{20}\bigl(0,5+0,02x+0,01y\bigr)\,dy\right)\!dx.
Agora calculemos a integral interna \int_{0}^{20}\bigl(0,5+0,02x+0,01y\bigr)\,dy.
  • Integre cada termo em y:
    • \int_{0}^{20} 0,5\,dy = 0,5\,[y]_{0}^{20} = 0,5\cdot 20.
    • \int_{0}^{20} 0,02x\,dy = 0,02x\,[y]_{0}^{20} = 0,02x\cdot 20. (aqui x é tratado como constante na integração em y.)
    • \int_{0}^{20} 0,01y\,dy = 0,01\left[\tfrac{y^2}{2}\right]_{0}^{20} = 0,01\cdot \tfrac{20^2}{2}.
  • Agora calcule os números:
    • 0,5\cdot 20 = 10.
    • 0,02x\cdot 20 = 0,4x.
    • 0,01\cdot \tfrac{20^2}{2} = 0,01\cdot \tfrac{400}{2} = 0,01\cdot 200 = 2.
  • Somando os três resultados obtemos a expressão da integral interna:
\int_{y=0}^{20}\bigl(0,5+0,02x+0,01y\bigr)\,dy = 10 + 0,4x + 2 = 12 + 0,4x.

Passo 4

Integrar agora em x a expressão obtida:
V=\int_{x=0}^{30} \bigl(12 + 0,4x\bigr)\,dx.
Calcule termo a termo:
  • \int_{0}^{30} 12\,dx = 12\,[x]_{0}^{30} = 12\cdot 30 = 360.
  • \int_{0}^{30} 0,4x\,dx = 0,4\left[\tfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{30} = 0,4\cdot \tfrac{30^2}{2} = 0,4\cdot \tfrac{900}{2} = 0,4\cdot 450 = 180.
    Somando:
V = 360 + 180 = 540.
A unidade é metros cúbicos, pois integrou-se altura (m) sobre área (m^2).

Passo 5

Verificação alternativa (boa prática para prova): usar linearidade da integral e separar os termos desde o início.
  • Área de R: 30\cdot 20 = 600\\ \mathrm{m}^2.
  • Integral do termo constante: \iint_{R} 0,5\,dA = 0,5\cdot \text{area}(R) = 0,5\cdot 600 = 300.
  • Integral do termo em x: \iint_{R} 0,02x\,dA = 0,02\left(\int_{0}^{30} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{20} dy\right) = 0,02\cdot \left[\tfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{30}\cdot 20 = 0,02\cdot 450\cdot 20 = 180.
  • Integral do termo em y: \iint_{R} 0,01y\,dA = 0,01\left(\int_{0}^{20} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{30} dx\right) = 0,01\cdot 200\cdot 30 = 60.
Somando 300+180+60=540, que confirma o resultado obtido antes. Bom checar para ter certeza na hora da prova!

Resposta

540\\ \mathrm{m}^3

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