Um lote retangular tem dimensōes
e
. A espessura do aterro necessária é dada por:
. Calcule o volume total de aterro necessário:
Passo 1
O enunciado pede calcular o volume total de aterro
onde a região
e a função altura
são dadas. Informações fornecidas:
- Região
: - Função espessura (altura do aterro):
(unidades em metros). - O diferencial de área é
(ou ).
A pergunta é: calcular explicitamente o valor numérico do volume(em metros cúbicos).
Passo 2
O que significa a integral dupla aqui e como vamos proceder (explicação didática):
- A integral dupla
soma a contribuição de em cada pedacinho de área da região . Geometricamente, integra-se a altura sobre cada área para obter volume. - Para uma região retangular qualquer
, vale que a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (regra de Fubini): podemos escrever
ou integrando na ordem inversa. Aqui
.
- Como
é uma função polinomial simples (linear em e ), a integração é direta termo a termo: integra-se cada termo em (ou ) usando as regras básicas e .
Passo 3
Montar a integral iterada e calcular a integral interna (integrando primeiro em
):
Agora calculemos a integral interna
.
- Integre cada termo em
: -
-
(aqui é tratado como constante na integração em .) -
-
- Agora calcule os números:
-
- Somando os três resultados obtemos a expressão da integral interna:
Passo 4
Integrar agora em
a expressão obtida:
Calcule termo a termo:
-
-
Somando:
A unidade é metros cúbicos, pois integrou-se altura (m) sobre área (m^2).
Passo 5
Verificação alternativa (boa prática para prova): usar linearidade da integral e separar os termos desde o início.
- Área de
: - Integral do termo constante:
- Integral do termo em
: - Integral do termo em
:
Somando
, que confirma o resultado obtido antes. Bom checar para ter certeza na hora da prova!