Calcule a integral dupla de
sobre B, sabendo que
e B é o conjunto de todos os pontos ( x ,
tais que
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pede: calcular a integral dupla de
sobre a região , ou seja
- Foi dado:
-
. - A região
é o conjunto dos pontos tais que e
-
- Observações úteis que extraio do enunciado (apenas listar informação, sem resolver aqui):
- A condição em
é simétrica em (depende de ), então a região é simétrica em torno do eixo . - Em
temos (vai de a ). - A função integrando é radial (
), então pode ser vantajoso usar coordenadas polares.
- A condição em
Passo 2
Por que trocar para coordenadas polares e como fazer a mudança.
- Motivação: em coordenadas polares
temos e o elemento de área é . Assim o integrando fica , que é muito mais simples de integrar. - Relembrando a transformação (aulas rápidas):
- As variáveis polares são
(distância à origem) e (ângulo). -
, . - O jacobiano da transformação é
, então .
- As variáveis polares são
- Em polares a integral vira
onde é a descrição de em .
Passo 3
Determinar a região
(limites em
e
) usando as desigualdades dadas.
- Primeiro, a restrição
implica . Como , isto exige , ou seja - Agora traduzir as desigualdades envolvendo
: - A desigualdade inferior
vira Se a desigualdade é satisfeita; para podemos dividir por e obter (Aqui usei que , então não muda sinal.) - A desigualdade superior
vira ou seja .
- A desigualdade inferior
- Portanto, para cada
com (isto é ) o permitido é Isso faz sentido: a primeira condição dá um teto e a segunda dá ; o teto efetivo é o menor dos dois. - Para decidir qual mínimo domina, resolvemos
A solução é (no intervalo ). - Conclusão sobre
: - Para
temos . - Para
temos (aqui quando ; pela simetria usaremos valor absoluto se necessário).
- Para
- Como a região é simétrica em
(a expressão para usa ), podemos integrar de a e multiplicar por .
Passo 4
Escrever a integral em polares com os limites encontrados e simplificar a expressão.
- Em polares:
- Usando simetria em torno do eixo
(ou seja, de a é duas vezes de a ): pois a integral em dá , e o fator vem da simetria. - Agora dividir o integral em duas partes por causa da mudança de expressão de
: Observação: em temos e , então e a expressão é . Em o teto é , e .
Passo 5
Calcular a segunda parcela (fácil) e a primeira parcela (fazer a substituição correta).
- Segunda parcela:
Multiplicando pelo fator dá - Primeira parcela (denotada
): Para integrar, faça a substituição . Então . - Quando
, . - Quando
, . - Escrever
. - A parte
passa a .
Assim
Integrando: Avaliando entre e : Calcule os dois termos: - Em
: . - Em
: , . Assim - Subtraindo (valor em
menos valor em ) dá
- Quando
Passo 6
Combinar as parcelas para obter o resultado final.
- Lembrando que
e que encontramos , temos - Simplificando:
Portanto - Podemos também escrever numa forma única, se quiser: