Calcule o volume do sólido geométrico delimitado pela superfície determinada pela equação
, com
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
com
, e pede o volume do sólido geométrico delimitado por essa superfície.
O problema pede para calcular o volume do sólido delimitado pela superfície dada. As informações relevantes são: a equação da superfície, a condição
, e o fato de que a superfície contém termos quadráticos e lineares em
.
Passo 2
Para identificar a forma geométrica da superfície, completaremos os quadrados nos termos em
.
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo essas expressões na equação dada:
Somando as constantes
, a equação simplifica para
ou seja
Passo 3
A equação acima representa uma esfera de centro
e raio
. Como
, o sólido delimitado por essa superfície é a bola (esfera sólida) de raio
centrada em
. O volume de uma bola não depende da posição do centro, apenas do raio.
Passo 4
Para calcular o volume da bola de raio
, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, as variáveis são
(distância à origem),
(ângulo polar,
) e
(ângulo azimutal,
). O elemento de volume vale
.
O volume da bola de raio
é
Calculando as integrais em ordem:
Multiplicando:
Passo 5
Portanto, ao completar os quadrados, mostramos que a superfície é uma esfera de raio
, e o volume do sólido interno a essa esfera (a bola de raio
) é
. O volume independe da posição do centro.