Calcule o volume do sólido geométrico delimitado pela superfície determinada pela equação x^{2}-2 x+y^{2}+4 y+ z^{2}-6 z-R^{2}+14=0, com R>0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^{2}-2 x+y^{2}+4 y+ z^{2}-6 z-R^{2}+14=0,
com R>0, e pede o volume do sólido geométrico delimitado por essa superfície.
O problema pede para calcular o volume do sólido delimitado pela superfície dada. As informações relevantes são: a equação da superfície, a condição R>0, e o fato de que a superfície contém termos quadráticos e lineares em x, y, z.

Passo 2

Para identificar a forma geométrica da superfície, completaremos os quadrados nos termos em x, y, z.
Para x:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.
Para y:
y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4.
Para z:
z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9.
Substituindo essas expressões na equação dada:
(x-1)^{2}-1 + (y+2)^{2}-4 + (z-3)^{2}-9 - R^{2} +14 = 0.
Somando as constantes -1-4-9+14 =0, a equação simplifica para
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}-R^{2}=0,
ou seja
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=R^{2}.

Passo 3

A equação acima representa uma esfera de centro (1,-2,3) e raio R. Como R>0, o sólido delimitado por essa superfície é a bola (esfera sólida) de raio R centrada em (1,-2,3). O volume de uma bola não depende da posição do centro, apenas do raio.

Passo 4

Para calcular o volume da bola de raio R, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, as variáveis são \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar, 0\le\varphi\le\pi) e \theta (ângulo azimutal, 0\le\theta<2\pi). O elemento de volume vale \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O volume da bola de raio R é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta.
Calculando as integrais em ordem:
\int_{0}^{R} \rho^{2}\,d\rho = \frac{R^{3}}{3},
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi = 2,
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando:
V = \frac{R^{3}}{3}\cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 5

Portanto, ao completar os quadrados, mostramos que a superfície é uma esfera de raio R, e o volume do sólido interno a essa esfera (a bola de raio R) é \dfrac{4}{3}\pi R^{3}. O volume independe da posição do centro.

Resposta

\dfrac{4}{3}\pi R^{3}

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