Com fornecimento de energia a uma taxa média de 24000 kJ / h , uma bomba de calor mantém a temperatura de uma residência em 20°C. Se a eletricidade custa 8,5 centavos por kW h , determine o custo de operação minimo teórico por dia de operação se a bomba de calor recebe energia por transferência de calor do do ar exterior a 5°C.

Passo 1

Vamos decifrar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (isso já acalma um pouco — vamos por partes).
Dados fornecidos:
  • Taxa média de fornecimento de energia térmica para a casa: 24000\\ \text{kJ/h}.
  • Temperatura interna (reservatório quente): 20^\circ\text{C}.
  • Temperatura do ar exterior (reservatório frio): 5^\circ\text{C}.
  • Preço da eletricidade: 8{,}5 centavos por \text{kW}\cdot\text{h}.
O enunciado pede:
  • Determinar o custo de operação mínimo teórico por dia de operação, supondo que a bomba de calor recebe calor do ar exterior a 5^\circ\text{C}.

Passo 2

Conceito físico que precisamos usar (explicado com calma):
  • A eficiência de uma bomba de calor é medida pelo coeficiente de desempenho, chamado de COP (do inglês Coefficient Of Performance). Para uma bomba de calor que entrega calor ao reservatório quente, por definição:
\text{COP}=\frac{Q_H}{W_{\text{in}}},
onde Q_H é a taxa de calor fornecida ao ambiente quente e W_{\text{in}} é a potência elétrica (trabalho) fornecida à bomba.
  • O valor teórico máximo do COP para uma bomba de calor reversível (o limite de Carnot) entre duas temperaturas T_H e T_C (em Kelvin) é
\text{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_H}{T_H-T_C}.
Explicando essa fórmula em palavras: quanto menor for a diferença de temperatura entre fora e dentro, maior pode ser o COP — faz sentido: é mais fácil “mover” calor quando as temperaturas estão próximas. Importante: usar temperaturas em Kelvin.

Passo 3

Converter as temperaturas para Kelvin (regra: T(\text{K})=T(^{\circ}\text{C})+273{,}15):
T_H = 20^\circ\text{C}+273{,}15 = 293{,}15\\ \text{K},
T_C = 5^\circ\text{C}+273{,}15 = 278{,}15\\ \text{K}.

Passo 4

Calcular o COP de Carnot com esses valores:
\text{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_H}{T_H-T_C}=\frac{293{,}15}{293{,}15-278{,}15}=\frac{293{,}15}{15}=19{,}5433\ldots
Interpretação rápida: teoricamente, cada 1 kW de potência elétrica poderia deslocar cerca de 19{,}54 kW de calor para dentro (no limite ideal).

Passo 5

Converter a taxa de calor fornecida Q_H de \text{kJ/h} para \text{kW} (potência). Regra prática: para transformar \text{kJ/h} em \text{kW} divide-se por 3600, porque 1\\ \text{kW}=1\\ \text{kJ/s} e 1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}.
Q_H = \frac{24000}{3600}\\ \text{kW}=6{,}666666\ldots\\ \text{kW}.

Passo 6

Calcular a potência elétrica mínima necessária (potência de entrada) usando o COP:
P_{\text{elec}}=\frac{Q_H}{\text{COP}_{\text{Carnot}}=\;19{,}5433\ldots}=\frac{6{,}666666\ldots}{19{,}5433\ldots}=0{,}3412917\ldots\\ \text{kW}.
Interpretação: teoricamente bastariam cerca de 0{,}3413\\ \text{kW} de potência elétrica contínua para manter os 6{,}6667\\ \text{kW} de aquecimento.

Passo 7

Calcular a energia elétrica consumida por dia (24 h):
E_{\text{dia}}=P_{\text{elec}}\times 24 = 0{,}3412917\ldots \times 24 = 8{,}191000\ldots\\ \text{kW}\cdot\text{h}.
Ou seja, cerca de 8{,}191\\ \text{kWh} por dia no limite ideal.

Passo 8

Calcular o custo diário usando o preço da eletricidade. Primeiro interpretar o preço: 8{,}5 centavos por \text{kW}\cdot\text{h} significa 0{,}085 (unidade monetária) por \text{kW}\cdot\text{h} se 1 unidade monetária = 100 centavos. Então:
\text{Custo por dia}=E_{\text{dia}}\times 0{,}085 = 8{,}191000\ldots \times 0{,}085 = 0{,}696235\ldots
Em centavos isso é
0{,}696235\ldots\\ \text{unidades monetárias} \times 100 = 69{,}6235\ldots\\ \text{centavos}.á

Passo 9

Arredondamentos práticos: é razoável reportar com duas casas decimais na moeda ou com uma casa decimal em centavos:
  • Aproximadamente 0{,}70 (unidade monetária) por dia, o que equivale a cerca de 69{,}6 centavos por dia, no limite teórico ideal (Carnot).

Resposta

0{,}696\\ \text{(unidade monetária por dia)}\\ \approx 69{,}6\\ \text{centavos por dia}á

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