Calcule a integral dupla de f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre D, onde:
D é a região do plano limitada pela curva r=2 \cos (2 \theta) que está dentro do círculo r=\sqrt{3} e fora do círculo r=1;

Passo 1

O enunciado pede: calcular a integral dupla de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre a região D, onde D é a parte do plano limitada pela curva r=2\cos(2\theta) que está dentro do círculo r=\sqrt{3} e fora do círculo r=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função integranda é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região D é descrita em coordenadas polares pelas curvas r=2\cos(2\theta), r=\sqrt{3} (círculo de raio \sqrt{3}) e r=1 (círculo de raio 1).
  • Devemos considerar só a parte do interior do “papagaio/rosa” r=2\cos(2\theta) que satisfaz simultaneamente r\le\sqrt{3} (dentro do círculo r=\sqrt{3}) e r\ge 1 (fora do círculo r=1).
  • Precisamos fornecer o valor numérico exato da integral dupla sobre D.

Passo 2

Troca para coordenadas polares (a ferramenta natural aqui):
  • Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • A função \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica simplesmente r, pois \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (para r\ge0, como é o caso).
  • O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • Portanto o integrando na integral dupla em polares fica r\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\,dr\,d\theta.
Vou explicar rapidamente: a mudança para polares é útil quando a região e/ou a função dependem naturalmente de r e \theta. Aqui a curva que limita D já está dada por r=\dots, então trabalhar em polares simplifica muito.

Passo 3

Entender a curva r=2\cos(2\theta) e a interseção com os círculos:
  • A curva r=2\cos(2\theta) é uma “rosa” com 4 pétalas (pois n=2 em \cos(2\theta) dá 4 pétalas). Cada pétala está centrada em ângulos \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}. Para o petál central ao redor de \theta=0 temos r\ge0 quando \cos(2\theta)\ge0, ou seja |\theta|\le \tfrac{\pi}{4}. A pétala efetivamente tem suporte em -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}, mas o interior da pétala é 0\le r\le 2\cos(2\theta).
  • Precisamos das interseções entre a curva r=2\cos(2\theta) e as curvas r=1 e r=\sqrt{3}. Resolveremos: 2\cos(2\theta)=1 \quad\Rightarrow\quad \cos(2\theta)=\tfrac{1}{2}.Isso dá 2\theta=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi, logo \theta=\pm\tfrac{\pi}{6}+k\pi.E 2\cos(2\theta)=\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad \cos(2\theta)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},que dá 2\theta=\pm\tfrac{\pi}{6}+2k\pi, ou seja \theta=\pm\tfrac{\pi}{12}+k\pi.
  • Para a pétala em torno de \theta=0 (o caso mais simples por simetria), as interseções relevantes no primeiro ramo positivo são em \theta=\pm\tfrac{\pi}{6} (onde o rose cruza r=1) e em \theta=\pm\tfrac{\pi}{12} (onde cruza r=\sqrt{3}).
  • Observação geométrica importante (para escolher limites de r):
    • Dentro da pétala, pontos “dentro da pétala” têm 0\le r\le 2\cos(2\theta).
    • Queremos apenas os pontos que também satisfazem 1\le r\le\sqrt{3}.
    • Portanto, para um dado \theta, o intervalo em r que pertence a D é r de 1 até \min\{2\cos(2\theta),\sqrt{3}\}, desde que \min\{2\cos(2\theta),\sqrt{3}\}\ge1. Caso contrário (quando 2\cos(2\theta)<1) não há contribuição naquele \theta.

Passo 4

Determinar os intervalos em \theta onde há contribuição (fatiamento por simetria):
  • Focar numa pétala em torno de \theta=0, cujo suporte onde 2\cos(2\theta)\ge0 é -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}, mas a condição 2\cos(2\theta)\ge1 reduz isso a |\theta|\le\tfrac{\pi}{6}.
  • Dentro desse intervalo |\theta|\le\tfrac{\pi}{6} precisamos distinguir onde 2\cos(2\theta) é maior ou menor que \sqrt{3}:
    • Para |\theta|\le\tfrac{\pi}{12} temos 2\cos(2\theta)\ge\sqrt{3}, então \min\{2\cos(2\theta),\sqrt{3}\}=\sqrt{3}. Assim, para |\theta|\le\tfrac{\pi}{12} o intervalo de r é 1\le r\le\sqrt{3}.
    • Para \tfrac{\pi}{12}\le|\theta|\le\tfrac{\pi}{6} temos 1\le 2\cos(2\theta)\le\sqrt{3}, então \min\{\cdot\}=2\cos(2\theta) e o intervalo de r é 1\le r\le 2\cos(2\theta).
    • Para |\theta|>\tfrac{\pi}{6} dentro da pétala temos 2\cos(2\theta)<1, logo não entra na região D.
  • Por simetria, as quatro pétalas dão contribuições idênticas. Assim é suficiente calcular a integral sobre a pétala centrada em \theta=0 (isto é -\tfrac{\pi}{6}\le\theta\le\tfrac{\pi}{6} com as divisões acima) e multiplicar o resultado por 4.

Passo 5

Escrever a integral em polares, dividida conforme os subintervalos em \theta já estabelecidos:
  • A integral sobre D em polares é
I=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \iint_{D} r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Pela simetria (4 pétalas idênticas), tomo uma pétala e multiplico por 4. Para a pétala em torno de \theta=0 temos, usando a divisão em |\theta|\le\tfrac{\pi}{12} e \tfrac{\pi}{12}\le|\theta|\le\tfrac{\pi}{6}:
I = 4\Bigg[\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{12}}\int_{1}^{\sqrt{3}} r^{2}\,dr\,d\theta \;+\; \int_{-\frac{\pi}{6}}^{-\frac{\pi}{12}}\int_{1}^{2\cos(2\theta)} r^{2}\,dr\,d\theta \;+\; \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}}\int_{1}^{2\cos(2\theta)} r^{2}\,dr\,d\theta\Bigg].
  • Podemos usar a simetria par em \theta (as duas integrais nos intervalos com limites envolvendo 2\cos(2\theta) são iguais), então escrevo de forma mais compacta:
I = 4\left[\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{12}}\int_{1}^{\sqrt{3}} r^{2}\,dr\,d\theta + 2\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}}\int_{1}^{2\cos(2\theta)} r^{2}\,dr\,d\theta\right].

Passo 6

Calcular a integral interna em r:
  • A primitiva de r^{2} em r é \dfrac{r^{3}}{3}. Assim para o primeiro termo:
\int_{1}^{\sqrt{3}} r^{2}\,dr = \left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{1}^{\sqrt{3}} = \dfrac{(\sqrt{3})^{3}-1^{3}}{3} = \dfrac{3\sqrt{3}-1}{3}.
  • Para o segundo tipo de termo:
\int_{1}^{2\cos(2\theta)} r^{2}\,dr = \left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{1}^{2\cos(2\theta)} = \dfrac{(2\cos(2\theta))^{3}-1}{3} = \dfrac{8\cos^{3}(2\theta)-1}{3}.

Passo 7

Substituir as integrais em r e integrar em \theta. Primeiro o termo constante em \theta:
T_{1}=4\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{12}} \dfrac{3\sqrt{3}-1}{3}\,d\theta =4\cdot \dfrac{3\sqrt{3}-1}{3}\cdot\left(\tfrac{\pi}{12}-\left(-\tfrac{\pi}{12}\right)\right) =4\cdot \dfrac{3\sqrt{3}-1}{3}\cdot \tfrac{\pi}{6}.
Simplificando,
T_{1} = \dfrac{4\pi(3\sqrt{3}-1)}{18} = \dfrac{\pi(3\sqrt{3}-1)}{9}.
Agora o termo com \cos^{3}(2\theta):
T_{2}=4\cdot 2 \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{8\cos^{3}(2\theta)-1}{3}\,d\theta = \dfrac{8}{3}\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \big(8\cos^{3}(2\theta)-1\big)\,d\theta.
(Observe que o fator 4 multiplicou a soma; o 2 veio da simetria positiva/negativa, logo 4\cdot2=8, e ao dividir por 3 no integrando obtivemos o coeficiente \tfrac{8}{3} fora; depois simplificamos dentro como abaixo.)
Mas antes de prosseguir, simplifico a expressão dentro da integral usando a identidade para \cos^{3}:
\cos^{3}u = \tfrac{1}{4}\big(3\cos u + \cos 3u\big).
Com u=2\theta obtemos
8\cos^{3}(2\theta) = 8\cdot\tfrac{1}{4}\big(3\cos(2\theta)+\cos(6\theta)\big) = 6\cos(2\theta)+2\cos(6\theta).
Logo
8\cos^{3}(2\theta)-1 = 6\cos(2\theta)+2\cos(6\theta)-1.
Substituindo em T_{2}:
T_{2}=\dfrac{8}{3}\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \big(6\cos(2\theta)+2\cos(6\theta)-1\big)\,d\theta.

Passo 8

Calcular T_{2} explicitamente:
  • Integrar termo a termo: \int 6\cos(2\theta)\,d\theta = 6\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)=3\sin(2\theta),
\int 2\cos(6\theta)\,d\theta = 2\cdot \tfrac{1}{6}\sin(6\theta)=\tfrac{1}{3}\sin(6\theta),
\int -1\,d\theta = -\theta.
  • Portanto a primitiva do integrando é 3\sin(2\theta)+\tfrac{1}{3}\sin(6\theta)-\theta. Avaliando de \theta=\tfrac{\pi}{12} a \theta=\tfrac{\pi}{6} temos:
    • Em \theta=\tfrac{\pi}{6}: \sin(2\theta)=\sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin(6\theta)=\sin(\pi)=0.
    • Em \theta=\tfrac{\pi}{12}: \sin(2\theta)=\sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{2}, \sin(6\theta)=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1.
  • Assim o valor do parêntese é \Big(3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{1}{3}\cdot 0 - \tfrac{\pi}{6}\Big) - \Big(3\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}\cdot 1 - \tfrac{\pi}{12}\Big).Simplificando os números: = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{6} - \Big(\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{\pi}{12}\Big) = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{6} - \tfrac{11}{6} + \tfrac{\pi}{12}.
= \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{12} - \tfrac{11}{6}.
  • Multiplicando pelo fator externo de \dfrac{8}{3} em T_{2} (lembre-se do coeficiente fora da integral): T_{2} = \dfrac{8}{3}\cdot\left(\tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{12} - \tfrac{11}{6}\right).Simplificando cada termo: \dfrac{8}{3}\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\cdot 4 = 4\sqrt{3},
\dfrac{8}{3}\cdot\left(-\tfrac{\pi}{12}\right) = -\tfrac{8\pi}{36} = -\tfrac{2\pi}{9},
\dfrac{8}{3}\cdot\left(-\tfrac{11}{6}\right) = -\tfrac{88}{18} = -\tfrac{44}{9}.
Portanto
T_{2} = 4\sqrt{3} - \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{44}{9}.

Passo 9

Somar T_{1} e T_{2} para obter I:
  • Lembrando que T_{1}=\dfrac{\pi(3\sqrt{3}-1)}{9} e T_{2}=4\sqrt{3} - \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{44}{9}.
  • Somando: I = T_{1}+T_{2} = \dfrac{\pi(3\sqrt{3}-1)}{9} + 4\sqrt{3} - \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{44}{9}.Agrupando os termos com \pi: \dfrac{\pi(3\sqrt{3}-1)}{9} - \dfrac{2\pi}{9} = \dfrac{\pi(3\sqrt{3}-1-2)}{9} = \dfrac{\pi(3\sqrt{3}-3)}{9} = \dfrac{3\pi(\sqrt{3}-1)}{9} = \dfrac{\pi(\sqrt{3}-1)}{3}.Mas para manter uma forma mais simétrica, podemos também combinar de outra maneira. Vou apresentar uma forma compacta e exata: I = \dfrac{6\pi\sqrt{3}-4\pi+36\sqrt{3}-44}{9}.Ou, fatorando convenientemente: I = \dfrac{6\sqrt{3}(\pi+6)-4(\pi+11)}{9}.

Resposta

\displaystyle \dfrac{6\sqrt{3}(\pi+6)-4(\pi+11)}{9}

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