Calcule a área da região limitadas pela curva
que está fora da rosásea de 4 pétalas
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede a área da região que está limitada pela curva
e que fica fora da rosácea de 4 pétalas
.
Informações relevantes fornecidas:
- Curva externa (limite maior):
. - Rosácea (a ser excluída):
. - O pedido é: calcular a área do conjunto de pontos que estão dentro de
e ao mesmo tempo fora da rosácea .
O objetivo final é um único número (área), obtido analisando como essas duas curvas se situam uma em relação à outra ao longo de
.
Passo 2
Relembrando a fórmula que vamos usar — aula rápida e prática:
- Em coordenadas polares, a área de uma região delimitada por uma curva
quando varia de até é dada por
Explicação do que cada coisa significa:
-
é a distância do ponto à origem quando o ângulo é . - O termo
é a área do “setor radial” infinitesimal entre e . - Integrando desses setores obtemos a área total da região percorrida pela curva.
Para encontrar a área que está dentro de
e fora de
, podemos proceder assim:
- Calcular a área dentro de
para : . - Subtrair a área ocupada pela rosácea
(toda a rosácea), que é , desde que toda a rosácea esteja contida na região interior de . Nas próximas etapas vamos justificar que isso é válido.
Passo 3
Verificação de qual curva é maior (para garantir que a rosácea está dentro de
):
Comparar
e
.
- Observação rápida sobre valores máximos e mínimos:
Ou seja, para todo e para todo . Logo nunca teremos . - Podemos também resolver a igualdade
para ver se há pontos de interseção: Usando , obtemos Rearranjando: Essa quadrática em fatoriza como então (impossível) ou . Portanto a igualdade ocorre somente quando , isto é (mod ). Nesse ângulo ambas as curvas valem . - Conclusão: para todo
, , com igualdade apenas em . Assim a rosácea inteira está contida na região interior à curva . Portanto a área pedida é simplesmente a área interior a menos a área da rosácea .
Passo 4
Calcular a área interior à curva
usando a fórmula:
Expandindo o quadrado:
Usamos a identidade
para simplificar:
Agora integramos de
a
:
As integrais dos cossenos em um período inteiro são zero, então
Multiplicando por
,
Passo 5
Calcular a área da rosácea
.
A área total da rosácea (todas as pétalas) é dada por
Usamos a identidade de potência dupla
, logo
A integral de
em um período inteiro é zero, portanto
Passo 6
Subtrair a área da rosácea da área interior a
para obter a área pedida: