Calcule a área da região limitadas pela curva r=3+2 \cos \theta que está fora da rosásea de 4 pétalas r=\cos (2 \theta).

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede a área da região que está limitada pela curva r=3+2\cos\theta e que fica fora da rosácea de 4 pétalas r=\cos(2\theta).
Informações relevantes fornecidas:
  • Curva externa (limite maior): r_1(\theta)=3+2\cos\theta.
  • Rosácea (a ser excluída): r_2(\theta)=\cos(2\theta).
  • O pedido é: calcular a área do conjunto de pontos que estão dentro de r_1 e ao mesmo tempo fora da rosácea r_2.
O objetivo final é um único número (área), obtido analisando como essas duas curvas se situam uma em relação à outra ao longo de \theta\in[0,2\pi].

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar — aula rápida e prática:
  • Em coordenadas polares, a área de uma região delimitada por uma curva r(\theta) quando \theta varia de \alpha até \beta é dada por
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.Á
Explicação do que cada coisa significa:
  • r(\theta) é a distância do ponto à origem quando o ângulo é \theta.
  • O termo \tfrac12 r^2 d\theta é a área do “setor radial” infinitesimal entre \theta e \theta+d\theta.
  • Integrando desses setores obtemos a área total da região percorrida pela curva.
Para encontrar a área que está dentro de r_1 e fora de r_2, podemos proceder assim:
  • Calcular a área dentro de r_1 para \theta\in[0,2\pi]: \tfrac12\int_0^{2\pi} r_1^2\,d\theta.
  • Subtrair a área ocupada pela rosácea r_2 (toda a rosácea), que é \tfrac12\int_0^{2\pi} r_2^2\,d\theta, desde que toda a rosácea esteja contida na região interior de r_1. Nas próximas etapas vamos justificar que isso é válido.

Passo 3

Verificação de qual curva é maior (para garantir que a rosácea está dentro de r_1):
Comparar r_1(\theta)=3+2\cos\theta e r_2(\theta)=\cos(2\theta).
  • Observação rápida sobre valores máximos e mínimos: \min_{\theta} r_1(\theta)=3+2(-1)=1,\qquad \max_{\theta} r_2(\theta)=1.Ou seja, r_1(\theta)\ge 1 para todo \theta e r_2(\theta)\le 1 para todo \theta. Logo nunca teremos r_2>r_1.
  • Podemos também resolver a igualdade r_1=r_2 para ver se há pontos de interseção: 3+2\cos\theta=\cos(2\theta).Usando \cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1, obtemos 3+2\cos\theta = 2\cos^2\theta-1.Rearranjando: 2\cos^2\theta -2\cos\theta -4=0 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\theta -\cos\theta -2=0.Essa quadrática em \cos\theta fatoriza como (\cos\theta-2)(\cos\theta+1)=0,então \cos\theta=2 (impossível) ou \cos\theta=-1. Portanto a igualdade ocorre somente quando \cos\theta=-1, isto é \theta=\pi (mod 2\pi). Nesse ângulo ambas as curvas valem 1.
  • Conclusão: para todo \theta, r_1(\theta)\ge r_2(\theta), com igualdade apenas em \theta=\pi. Assim a rosácea inteira está contida na região interior à curva r_1. Portanto a área pedida é simplesmente a área interior a r_1 menos a área da rosácea r_2.

Passo 4

Calcular a área interior à curva r_1(\theta)=3+2\cos\theta usando a fórmula:
A_{1}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(3+2\cos\theta\bigr)^{2}\,d\theta.
Expandindo o quadrado:
\bigl(3+2\cos\theta\bigr)^{2}=9+12\cos\theta+4\cos^{2}\theta.
Usamos a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} para simplificar:
9+12\cos\theta+4\cos^{2}\theta = 9+12\cos\theta+4\cdot\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} =11+12\cos\theta+2\cos(2\theta).
Agora integramos de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} \bigl(11+12\cos\theta+2\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta =11\cdot 2\pi +12\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta +2\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
As integrais dos cossenos em um período inteiro são zero, então
\int_{0}^{2\pi} \bigl(3+2\cos\theta\bigr)^{2}\,d\theta =22\pi.
Multiplicando por \tfrac12,
A_{1}=\frac{1}{2}\cdot 22\pi =11\pi.

Passo 5

Calcular a área da rosácea r_2(\theta)=\cos(2\theta).
A área total da rosácea (todas as pétalas) é dada por
A_{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}(2\theta)\,d\theta.
Usamos a identidade de potência dupla \cos^{2}(2\theta)=\dfrac{1+\cos(4\theta)}{2}, logo
A_{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos(4\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\bigl(1+\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta.
A integral de \cos(4\theta) em um período inteiro é zero, portanto
A_{2}=\frac{1}{4}\cdot 2\pi =\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Subtrair a área da rosácea da área interior a r_1 para obter a área pedida:
A = A_{1}-A_{2}=11\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{22\pi-\pi}{2}=\frac{21\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{21\pi}{2}

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