Calcule a integral dupla e faça um esboço da região de integração.
integral duplaD xy d A, D=(x, y) mid 1 <= x <= 2, x <= y <= 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaDxy,dA,
em que
D=(x,y)mid 1<= x<=2,;x<= y<=2x
O conteúdo aqui é integração dupla via integração iterada, integrando primeiro em y e depois em x, e usaremos a antiderivada de 1/y, que é ln(y).

Passo 2

Escrevemos a integral iterada na ordem dy,dx:
integral duplaDxy,dA =integralx=1^2integraly=x^2xxy,dy,dx

Passo 3

Para integrar em y:
integraly=x^2xxy,dy =xintegralx^2x1y,dy =xl[ln(y)r]y=x^y=2x =xl(ln(2x)-ln(x)r) =xln(2)

Passo 4

Agora integramos em x:
integralx=1^2xln(2),dx =ln(2)integral1^2x,dx =ln(2)l[x^22r]1^2 =ln(2)l(4-12r) =32ln(2)

Passo 5

A região D no plano (x,y) é o quadrilátero limitado pelas retas x=1, x=2, y=x e y=2x. Os vértices são
(1,1), (1,2), (2,4) e (2,2). Num esboço, desenhe o eixo x, marque x=1 e x=2, trace as retas y=x e y=2x e sombreie a faixa entre elas para 1<= x<=2.

Resposta

32ln(2)

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