Questão 2: Encontre a solução do problema (a expressão da série e a fórmula para os coeficientes dela)
Passo 1
O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares num anel 1<= r<=2, 0<=theta<=pi, com condições homogêneas em theta e mistas em r. O conteúdo é separação de variáveis: vamos supor
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
e obter as equações para R e Theta.
Passo 2
Substituindo u=R(r)Theta(theta) em
r^2urr+r,ur+uthetatheta=0
e dividindo por RTheta dá
r^2R''+rR'R=-Theta''Theta=lambda
Como u(r,0)=u(r,pi)=0, temos problema de Sturm–Liouville em Theta com Theta(0)=Theta(pi)=0, cujos autovalores e autofunções são