Questão 2: Encontre a solução do problema (a expressão da série e a fórmula para os coeficientes dela)
ll r^2 ur r+r ur+utheta theta=0, & 0 <= theta <= pi, 1 <= r <= 2 u(r, 0)=0=u(r, pi), & 1 <= r <= 2 ur(1, theta)=0, & 0 <= theta <= pi u(2, theta)=f(theta) & 0 <= theta <= pi

Passo 1

O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares num anel 1<= r<=2, 0<=theta<=pi, com condições homogêneas em theta e mistas em r. O conteúdo é separação de variáveis: vamos supor
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
e obter as equações para R e Theta.

Passo 2

Substituindo u=R(r)Theta(theta) em
r^2urr+r,ur+uthetatheta=0
e dividindo por RTheta
r^2R''+rR'R=-Theta''Theta=lambda
Como u(r,0)=u(r,pi)=0, temos problema de Sturm–Liouville em Theta com Theta(0)=Theta(pi)=0, cujos autovalores e autofunções são
lambdan=n^2, Thetan(theta)=sin(ntheta), n=1,2,dots

Passo 3

Para cada lambdan=n^2, a parte radial satisfaz
r^2R''+rR'-n^2R=0,
cuja solução geral é
Rn(r)=An,r^n+Bn,r^-n
Assim
u(r,theta)=sumn=1^inftyl(An,r^n+Bn,r^-nr)sin(ntheta)

Passo 4

Impondo a condição Neumann em r=1:
ur(1,theta)=sumn=1^inftyl(nAn,1^,n-1-nBn,1^-n-1r)sin(ntheta)=0
para todo theta. Logo nAn-nBn=0, isto é
An=Bn
Defina Cn=An=Bn. Então
u(r,theta)=sumn=1^infty Cnl(r^n+r^-nr)sin(ntheta)

Passo 5

A condição de contorno em r=2 diz
u(2,theta)=sumn=1^infty Cnl(2^n+2^-nr)sin(ntheta) =f(theta)
Expandindo f em série de Fourier-seno em (0,pi):
f(theta)=sumn=1^infty bnsin(ntheta), bn=2piintegral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta
Comparando termos sin(ntheta)
Cnl(2^n+2^-nr)=bn Longrightarrow Cn=bn2^n+2^-n

Resposta

A solução do problema é
u(r,theta) =sumn=1^infty bn2^n+2^-nl(r^n+r^-nr)sin(ntheta),
onde
bn=2piintegral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta, n=1,2,dots ,

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