Encontre a área A limitada pelas curvas y-x^3=0, y=6+x e 2 y+x=0.

Passo 1

O enunciado pede a área A limitada pelas curvas
y = x^3, y = x + 6, x + 2y = 0
O conteúdo é cálculo de área pelo método de integrais definidas. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de intersecção entre cada par de curvas.
  2. Esboçar a região no plano (x,y) para decidir a integração em x.
  3. Montar as integrais correspondentes à diferença entre a fronteira superior e a inferior em cada intervalo de x.

Passo 2

Achemos os vértices da região resolvendo pares de equações:
  1. x^3 = x + 6Rightarrow x^3 - x - 6 = 0. Testando x=2 8-2-6=0, logo x=2, y=2^3=8. Ponto (2,8).
  2. x^3 = -tfrac x2 (já que x+2y=0Rightarrow y=-x/2) dá 2x^3 + x=0Rightarrow x(2x^2+1)=0. A única real é x=0, y=0. Ponto (0,0).
  3. x+6 = -tfrac x2 x+6 = -x/2Rightarrow tfrac3x2 = -6Rightarrow x=-4, y = -(-4)/2=2. Ponto (-4,2).

Passo 3

Esboçando, vemos que para -4<= x<=0 a fronteira superior é y=x+6 e a inferior é y=-x/2; para 0<= x<=2 a superior continua y=x+6 e a inferior passa a ser y=x^3. Portanto
A = integralx=-4^0l[(x+6)-(-tfrac x2)r],dx ;+;integral0^2l[(x+6)-x^3r],dx

Passo 4

Calculemos
I1 = integral-4^0l(x+6 + tfrac x2r),dx = integral-4^0l(tfrac3x2 +6r),dx
Uma primitiva é
F1(x)=tfrac32cdottfracx^22+6x = tfrac3x^24+6x
Então
I1 = F1(0)-F1(-4) = l(0r)-l(tfrac3cdot164+6cdot(-4)r) = -l(12-24r)=12

Passo 5

Agora
I2 = integral0^2l(x+6 - x^3r),dx
tem primitiva
F2(x)=tfracx^22+6x - tfracx^44
Logo
I2 = F2(2)-F2(0) = l(2+12-tfrac164r)-0 = 14-4=10

Passo 6

A área total é
A = I1 + I2 = 12 + 10 = 22

Resposta

A = 22 unidades de área.

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