Classifique os pontos críticos da função
Passo 1
Vamos achar e classificar todos os pontos críticos da função
. O conteúdo envolvido é derivadas parciais para obter o gradiente zero e o teste da matriz Hessiana para classificação.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema
e
:
De
temos dois casos:
-
-
.
No caso 1 (
): substituindo em
vem
Então dois pontos:
e
.
No caso 2 (
): em
obtemos
Daí aparecem os pontos
e
.
Passo 4
Agora vamos ao teste da Hessiana. As segundas derivadas são:
O discriminante
e o sinal de
dizem se é mínimo, máximo ou sela.
Passo 5
Avaliando em cada ponto:
No ponto
:
Isso indica ponto de sela.
No ponto
:
Também sela.
No ponto
:
Como
No ponto
:
Como
Resposta
Pontos críticos e classificações:
(0,3): ponto de sela
(0,-3): ponto de sela
(√3,3√3): mínimo local
(-√3,-3√3): máximo local
(0,3): ponto de sela
(0,-3): ponto de sela
(√3,3√3): mínimo local
(-√3,-3√3): máximo local