Classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x y^2-6 x^2 y+10 x^3-9 x

Passo 1

Vamos achar e classificar todos os pontos críticos da função f(x,y)=x y^2-6 x^2y+10x^3-9x. O conteúdo envolvido é derivadas parciais para obter o gradiente zero e o teste da matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=y^2-12xy+30x^2-9,
partial fpartial y=2xy-6x^2

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema fx=0 e fy=0:
De fy=2x(y-3x)=0 temos dois casos:
  1. x=0
  2. y=3x.
No caso 1 ( x=0): substituindo em fx=0 vem
y^2-9=0 implies y=pm3
Então dois pontos: (0,3) e (0,-3).
No caso 2 ( y=3x): em fx=0 obtemos
(3x)^2-12x(3x)+30x^2-9 = 9x^2-36x^2+30x^2-9 = 3x^2-9=0,
3x^2=9 implies x=pmraiz3, y=3x=pm3raiz3
Daí aparecem os pontos (raiz3,3raiz3) e (-raiz3,-3raiz3).

Passo 4

Agora vamos ao teste da Hessiana. As segundas derivadas são:
fxx=-12y+60x,
fyy=2x,
fxy=2y-12x
O discriminante D=fxxfyy-(fxy)^2 e o sinal de fxx dizem se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 5

Avaliando em cada ponto:
No ponto (0,3):
fxx=-36, fyy=0, fxy=6, D=(-36)cdot0-6^2=-36<0
Isso indica ponto de sela.
No ponto (0,-3):
fxx=36, fyy=0, fxy=-6, D=36cdot0-(-6)^2=-36<0
Também sela.
No ponto (raiz3,3raiz3):
fxx=24raiz3, fyy=2raiz3, fxy=-6raiz3, D=(24raiz3)(2raiz3)-(-6raiz3)^2=36>0
Como fxx>0, é mínimo local.
No ponto (-raiz3,-3raiz3):
fxx=-24raiz3, fyy=-2raiz3, fxy=6raiz3, D=(-24raiz3)(-2raiz3)-(6raiz3)^2=36>0
Como fxx<0, é máximo local.

Resposta

Pontos críticos e classificações:
(0,3): ponto de sela
(0,-3): ponto de sela
(√3,3√3): mínimo local
(-√3,-3√3): máximo local

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