Identifique (nome, centro e eixo) para cada uma seguintes equações do plano a natureza dos gráficos, completando quadrados.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação do plano
e pede que identifiquemos:
- o nome da curva representada por essa equação;
- o centro da curva;
- o(s) eixo(s) (ou informação equivalente, por exemplo o raio no caso de círculo) — isto é, as características geométricas relevantes.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em
e
na equação acima.
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): como temos termos quadráticos em
e
e termos lineares, vamos usar o método de completar quadrados para transformar a equação numa forma padrão (canônica). A ideia básica do completar quadrado é reescrever expressões do tipo
como um quadrado perfeito mais/menos uma constante.
Fórmula e explicação didática do completar quadrado:
- Para qualquer número real
,
Explicação: ao expandir
obtém-se
. Logo para recuperar
subtrai-se
.
Exemplo rápido (para fixar): se tivermos
, aqui
. Então
Percebeu? O termo linear define o deslocamento do quadrado perfeito e a subtração corrige o excesso.
Passo 3
Aplique o completar quadrado aos termos em
da equação original. Tomamos os termos que envolvem
:
Aqui
. Usando a fórmula,
Expliquei cada parte:
, então
; subtrai-se
para voltar à expressão original.
Passo 4
Aplique o completar quadrado aos termos em
. Tomamos
Aqui
. Usando a fórmula,
Porque
, logo
e subtrai-se
.
Passo 5
Agora substituímos as reescritas na equação original e simplificamos passo a passo.
Começando por escrever a equação com os quadrados completados:
Agora somamos as constantes negativas do lado esquerdo:
Portanto a equação fica
Isolando os quadrados:
Passo 6
Interpretação geométrica dessa forma padrão:
- A equação
é a forma padrão de um círculo no plano. - Para um círculo em forma
, o centro é e o raio é . - Comparando, temos
, e , logo o raio é .
Informações adicionais úteis para a prova (curto e prático):
- Eixos de simetria: o círculo é simétrico em relação às retas
e (retas verticais e horizontais que passam pelo centro). - Se precisares desenhar: marca o ponto
e desenha todos os pontos à distância desse ponto.
Resposta
Nome: Círculo
Centro:
Eixo / raio: (eixos de simetria
e
)
Centro:
Eixo / raio: