Identifique (nome, centro e eixo) para cada uma seguintes equações do plano a natureza dos gráficos, completando quadrados.
x^{2}+y^{2}-2 x-6 y-15=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação do plano
x^{2}+y^{2}-2x-6y-15=0
e pede que identifiquemos:
  • o nome da curva representada por essa equação;
  • o centro da curva;
  • o(s) eixo(s) (ou informação equivalente, por exemplo o raio no caso de círculo) — isto é, as características geométricas relevantes.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em x e y na equação acima.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): como temos termos quadráticos em x e y e termos lineares, vamos usar o método de completar quadrados para transformar a equação numa forma padrão (canônica). A ideia básica do completar quadrado é reescrever expressões do tipo x^{2}+bx como um quadrado perfeito mais/menos uma constante.
Fórmula e explicação didática do completar quadrado:
  • Para qualquer número real b,
x^{2}+bx = \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Explicação: ao expandir \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2} obtém-se x^{2}+bx+\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Logo para recuperar x^{2}+bx subtrai-se \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}.
Exemplo rápido (para fixar): se tivermos x^{2}-4x, aqui b=-4. Então
x^{2}-4x = \left(x-2\right)^{2}-4.
Percebeu? O termo linear define o deslocamento do quadrado perfeito e a subtração corrige o excesso.

Passo 3

Aplique o completar quadrado aos termos em x da equação original. Tomamos os termos que envolvem x:
x^{2}-2x.
Aqui b=-2. Usando a fórmula,
x^{2}-2x = \left(x-1\right)^{2}-1.
Expliquei cada parte: \dfrac{b}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1, então \left(x-1\right)^{2}=x^{2}-2x+1; subtrai-se 1 para voltar à expressão original.

Passo 4

Aplique o completar quadrado aos termos em y. Tomamos
y^{2}-6y.
Aqui b=-6. Usando a fórmula,
y^{2}-6y = \left(y-3\right)^{2}-9.
Porque \dfrac{b}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3, logo \left(y-3\right)^{2}=y^{2}-6y+9 e subtrai-se 9.

Passo 5

Agora substituímos as reescritas na equação original e simplificamos passo a passo.
Começando por escrever a equação com os quadrados completados:
\bigl(x-1\bigr)^{2}-1 \;+\; \bigl(y-3\bigr)^{2}-9 \;-\;15 \;=\;0.
Agora somamos as constantes negativas do lado esquerdo:
-1-9-15 = -25.
Portanto a equação fica
\bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2} -25 = 0.
Isolando os quadrados:
\bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2} = 25.

Passo 6

Interpretação geométrica dessa forma padrão:
  • A equação \bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y-3\bigr)^{2} = 25 é a forma padrão de um círculo no plano.
  • Para um círculo em forma \bigl(x-h\bigr)^{2} + \bigl(y-k\bigr)^{2} = r^{2}, o centro é (h,k) e o raio é r.
  • Comparando, temos h=1, k=3 e r^{2}=25, logo o raio é r=5.
Informações adicionais úteis para a prova (curto e prático):
  • Eixos de simetria: o círculo é simétrico em relação às retas x=1 e y=3 (retas verticais e horizontais que passam pelo centro).
  • Se precisares desenhar: marca o ponto (1,3) e desenha todos os pontos à distância 5 desse ponto.

Resposta

Nome: Círculo
Centro: (1,3)
Eixo / raio: r=5 (eixos de simetria x=1 e y=3)

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