Calcule a integral dupla da função
f(x, y)=y^{5} \cos \left(x^{5}\right) no conjunto
B: y^{2} \leq x e x^{2}+y^{2} \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Pede para calcular a integral dupla da função \,f(x,y)=y^{5}\cos\!\bigl(x^{5}\bigr)\, no conjunto B definido por B:\quad y^{2}\le x\quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}\le 1.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • A função integranda é \,f(x,y)=y^{5}\cos\!\bigl(x^{5}\bigr)\,.
    • O domínio B é o conjunto de pontos dentro do disco unitário \,x^{2}+y^{2}\le 1\, que também satisfazem \,x\ge y^{2}\,.
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla I=\iint_{B} y^{5}\cos\!\bigl(x^{5}\bigr)\,dA.

Passo 2

Descrevendo geometricamente o conjunto B e observando simetria.
  • A desigualdade \,y^{2}\le x\, pode ser reescrita como \,x\ge y^{2}\,. Como y^{2}\ge 0, segue que todo ponto de B tem \,x\ge 0\,. Ou seja, B está contido na semicircunferência direita do disco unitário.
  • As duas desigualdades usam apenas y^{2} em relação a y. Portanto, se (x,y)\in B então (x,-y)\in B. Conclusão: o conjunto B é simétrico em relação ao eixo x (simetria vertical).
  • Importante: essa simetria significa que para cada ponto com coordenada y>0 existe um ponto espelhado com coordenada y<0 dentro de B.

Passo 3

Analisando a paridade (odd/even) da integranda em relação a y.
  • A função dada é \,f(x,y)=y^{5}\cos\!\bigl(x^{5}\bigr)\,.
  • Definição útil: uma função g(y) é ímpar (odd) se g(-y)=-g(y) e é par (even) se g(-y)=g(y).
  • No nosso caso:
    • A parte \,y^{5}\, é ímpar em y porque ({-y})^{5}=-y^{5}.
    • A parte \,\cos\!\bigl(x^{5}\bigr)\, não depende de y, portanto é igual para y e -y.
  • Logo, em conjunto, f(x,-y) = (-y)^{5}\cos\!\bigl(x^{5}\bigr) = -y^{5}\cos\!\bigl(x^{5}\bigr) = -f(x,y).Ou seja, f é ímpar em relação à variável y (para cada x fixo).

Passo 4

Concluindo que a integral é zero usando simetria e a ímparidade.
  • Escrevo a integral total como soma das integrais sobre a parte superior B^{+}=\{(x,y)\in B: y\ge 0\} e sobre a parte inferior B^{-}=\{(x,y)\in B: y\le 0\}: I=\iint_{B} f(x,y)\,dA = \iint_{B^{+}} f(x,y)\,dA + \iint_{B^{-}} f(x,y)\,dA.
  • Uso a bijeção de reflexão T:(x,y)\mapsto (x,-y) que leva B^{+} sobre B^{-}. Fazendo a mudança de variável y'=-y na integral sobre B^{-} (o jacobiano absoluto é 1), obtenho: \iint_{B^{-}} f(x,y)\,dA = \iint_{B^{+}} f(x,-y')\,dA.
  • Como f(x,-y')=-f(x,y') (ímpar em y), segue \iint_{B^{-}} f(x,y)\,dA = -\iint_{B^{+}} f(x,y)\,dA.
  • Substituindo na soma: I=\iint_{B^{+}} f(x,y)\,dA + \bigl(-\iint_{B^{+}} f(x,y)\,dA\bigr)=0.
  • Portanto a integral dupla sobre B anula-se por cancelamento simétrico entre y>0 e y<0.

Passo 5

Comentários finais, reforçando o raciocínio e checando consistência.
  • Não precisei parametrizar explicitamente B nem calcular limites complicados: a combinação de (i) simetria do domínio em relação ao eixo x e (ii) ímparidade de f em y garante que a contribuição positiva e negativa em y se cancelem.
  • Como verificação rápida, poderia também tentar escrever B em coordenadas cartesianas (por exemplo, para cada y com |y|\le\sqrt{\tfrac{\sqrt5-1}{2}} ter x variando de x=y^{2} até x=\sqrt{1-y^{2}}); mas esse cálculo de limites não altera a conclusão de anulação quando se integra uma função ímpar sobre intervalo simétrico em y.

Resposta

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