Calcule a integral dupla da função
no conjunto
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- Pede para calcular a integral dupla da função
no conjunto definido por - Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O domínio
é o conjunto de pontos dentro do disco unitário que também satisfazem .
- A função integranda é
- A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla
Passo 2
Descrevendo geometricamente o conjunto
e observando simetria.
- A desigualdade
pode ser reescrita como . Como , segue que todo ponto de tem . Ou seja, está contido na semicircunferência direita do disco unitário. - As duas desigualdades usam apenas
em relação a . Portanto, se então . Conclusão: o conjunto é simétrico em relação ao eixo (simetria vertical). - Importante: essa simetria significa que para cada ponto com coordenada
existe um ponto espelhado com coordenada dentro de .
Passo 3
Analisando a paridade (odd/even) da integranda em relação a
.
- A função dada é
. - Definição útil: uma função
é ímpar (odd) se e é par (even) se . - No nosso caso:
- A parte
é ímpar em porque . - A parte
não depende de , portanto é igual para e .
- A parte
- Logo, em conjunto,
Ou seja, é ímpar em relação à variável (para cada fixo).
Passo 4
Concluindo que a integral é zero usando simetria e a ímparidade.
- Escrevo a integral total como soma das integrais sobre a parte superior
e sobre a parte inferior : - Uso a bijeção de reflexão
que leva sobre . Fazendo a mudança de variável na integral sobre (o jacobiano absoluto é ), obtenho: - Como
(ímpar em ), segue - Substituindo na soma:
- Portanto a integral dupla sobre
anula-se por cancelamento simétrico entre e .
Passo 5
Comentários finais, reforçando o raciocínio e checando consistência.
- Não precisei parametrizar explicitamente
nem calcular limites complicados: a combinação de (i) simetria do domínio em relação ao eixo e (ii) ímparidade de em garante que a contribuição positiva e negativa em se cancelem. - Como verificação rápida, poderia também tentar escrever
em coordenadas cartesianas (por exemplo, para cada com ter variando de até ); mas esse cálculo de limites não altera a conclusão de anulação quando se integra uma função ímpar sobre intervalo simétrico em .