O número real que satisfaz a+x=a para todo a \in \mathbb{R} é:
(a) 1, (b) -1 , (c) 0 , (d) depende de a

Passo 1

O enunciado pede: achar o número real x que satisfaz
a + x = a
para todo a \in \mathbb{R}.
As alternativas são: (a) 1, (b) -1, (c) 0, (d) depende de a.

Passo 2

Interpretando a equação: ela diz que, se eu pegar qualquer número real a e somar x a ele, o resultado continua sendo a. Em palavras: somar x não altera nenhum número real. Esse é exatamente o comportamento que chamamos de elemento neutro (identidade) da adição. Vou usar propriedades muito básicas dos números reais: existe para cada a um número -a tal que a+(-a)=0 (inverso aditivo), e existe o número 0 com a propriedade 0+b=b para todo b (identidade aditiva). Essas são propriedades que qualquer estudante de exatas já conhece e vou usar para chegar em x.

Passo 3

Começo a partir da hipótese que vale para todo a:
a + x = a.
Como a igualdade vale para todo a, posso escolher um a arbitrário e operar ambos os lados da igualdade da mesma forma sem perder validade. Em particular, somo -a (o inverso aditivo de a) aos dois lados:
(-a) + (a + x) = (-a) + a.

Passo 4

Uso a associatividade da adição para reescrever o lado esquerdo:
((-a) + a) + x = (-a) + a.
Pela definição de inverso aditivo, (-a) + a = 0. Substituindo isso, a igualdade fica
0 + x = 0.

Passo 5

Agora uso a propriedade do número 0 (identidade aditiva): 0 + x = x. Portanto a igualdade acima implica
x = 0.
Ou seja, qualquer x que satisfazesse a+x=a para todo a deve ser igual a 0. Isso mostra também que tal elemento neutro da adição é único.

Resposta

(c) 0

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