Calcule a integral dupla da função
f(x, y)=sen(y)y
na região limitada pelas as retas y=1, y=2, y=x, y=x2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=sin(y)y
na região limitada pelas retas y=1, y=2, y=x e y=tfracx2. Este é um exercício de integrais duplas: primeiro vamos identificar os limites de integração e depois calcular a integral iterada.

Passo 2

Vamos descrever a região R no plano (x,y). As retas y=x e y=tfracx2 podem ser escritas como x=y e x=2y. Como y varia de 1 a 2, para cada yin[1,2] o x vai de y até 2y:
1<= y<=2,
y<= x<=2y

Passo 3

Com esses limites, montamos a integral iterada:
integral duplaRsin(y)y,dA =integraly=1^2integralx=y^2ysin(y)y,dx,dy

Passo 4

Como o integrando sin(y)y não depende de x, a integral interna em x dá:
integralx=y^2ysin(y)y,dx =sin(y)yl(xr)|x=y^2y =sin(y)y,(2y-y) =sin(y)
Então a integral fica:
integral1^2sin(y),dy

Passo 5

Agora basta calcular a integral de seno:
integral1^2sin(y),dy =-cos(y)|1^2 =-cos(2)+cos(1) =cos(1)-cos(2)

Resposta

cos(1)-cos(2)

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