Encontre os valores máximo e mínimo da função
f(x, y)=x^2 y
na elipse 4 x^2+9 y^2=36

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x,y)=x²y sobre a elipse 4x²+9y²=36. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis com restrição. Para resolver, vamos converter o problema numa função de um parâmetro usando a parametrização da elipse.

Passo 2

Como a curva é a elipse 4x²+9y²=36, parametrizamos por
x=3cos t,
y=2sin t,
onde t varia de 0 a 2π.
Substituímos na função para obter f em função de t. Temos
f(t)=x²y=(3cos t)²cdot(2sin t)=9cos²tcdot2sin t=18cos²tsin t ²²²²
Dessa forma, transformamos o problema numa otimização de f(t) sem restrição.

Passo 3

Calculamos a derivada de f(t) e igualamos a zero. Primeiro,
f(t)=18sin tcos²t ²
Derivando,
f'(t)=18l(cos tcdotcos²t+sin tcdot2cos t(-sin t)r)=18cos t(cos²t-2sin²t) ²²²
Logo, f’(t)=0 quando cos t=0 ou cos²t-2sin²t=0²².

Passo 4

Resolvendo as equações:
  • Se cos t=0, então t=pi2,3pi2. Isso dá x=0 e y=pm2, logo f=0.
  • Se cos²t-2sin²t=0²², então cos²t=2sin²t²² e como cos²t+sin²t=1²² segue 3sin²t=1² ou sin²t=tfrac13². Assim sin t=pmtfrac1raiz3 e cos²t=tfrac23². Substituindo em f(t):
f=18l(pmtfrac1raiz3r)cdottfrac23=pm4raiz3

Passo 5

Comparando todos os valores, concluímos que o valor máximo de f sobre a elipse é +4raiz3 e o mínimo é -4raiz3.

Resposta

max f=4raiz3, min f=-4raiz3

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