Encontre os valores máximo e mínimo da função
na elipse
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x,y)=x²y sobre a elipse 4x²+9y²=36. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis com restrição. Para resolver, vamos converter o problema numa função de um parâmetro usando a parametrização da elipse.
Passo 2
Como a curva é a elipse 4x²+9y²=36, parametrizamos por
onde t varia de 0 a 2π.
Substituímos na função para obter f em função de t. Temos
Substituímos na função para obter f em função de t. Temos
Dessa forma, transformamos o problema numa otimização de f(t) sem restrição.
Passo 3
Calculamos a derivada de f(t) e igualamos a zero. Primeiro,
Derivando,
Logo, f’(t)=0 quando
ou
.
Passo 4
Resolvendo as equações:
- Se
, então . Isso dá e , logo f=0. - Se
, então e como segue ou . Assim e . Substituindo em f(t):
Passo 5
Comparando todos os valores, concluímos que o valor máximo de f sobre a elipse é
e o mínimo é
.