Determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada implicitamente pela equação, no ponto indicado:
x^2+x y+2 y^2=28, em (2,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função definida implicitamente por no ponto . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a função não está isolada. Isso nos ajudará a encontrar a inclinação da reta tangente, e a partir daí, a inclinação da reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação 2x + y + x dydx + 4 y dydx = 0 em relação a . Lembre-se que, quando derivamos termos que envolvem , usamos a regra da cadeia porque é função de .
Derivando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usando a regra do produto).
  • A derivada de é .
  • A derivada de constante é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar x dydx + 4 y dydx = -2x - y para encontrar a inclinação da reta tangente:
dydx (x + 4 y) = -2x - y
Fatorando dydx = -2x - yx + 4 y :
Agora, isolando :

Passo 4

Vamos agora substituir as coordenadas do ponto dado dydx = -2(2) - 32 + 4(3) = -4 - 32 + 12 = -714 = -12 na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente y - y1 = mt (x - x1) , podemos encontrar a equação da reta tangente usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
y - 3 = -12 (x - 2)
Substituindo y = -12x + 1 + 3 y = -12x + 4 e o ponto :
Simplificando:

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal mn = -1mt = -1-12 = 2 é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
y - 3 = 2 (x - 2)
Agora, usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação com y = 2x - 4 + 3 y = 2x - 1 e o ponto :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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