Determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada implicitamente pela equação, no ponto indicado:
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função definida implicitamente por
no ponto
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada
quando a função não está isolada. Isso nos ajudará a encontrar a inclinação da reta tangente, e a partir daí, a inclinação da reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação
em relação a
. Lembre-se que, quando derivamos termos que envolvem
, usamos a regra da cadeia porque
é função de
.
Derivando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usando a regra do produto). - A derivada de
é . - A derivada de constante
é .
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Fatorando
:
Agora, isolando
:
Passo 4
Vamos agora substituir as coordenadas do ponto dado
na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente
, podemos encontrar a equação da reta tangente usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e o ponto
:
Simplificando:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal
é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Agora, usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação com
e o ponto
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.