Determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada implicitamente pela equação, no ponto indicado:
, em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada pela equação
no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de Geometria Analítica, especificamente sobre como encontrar retas tangentes e normais a curvas definidas implicitamente. Vamos precisar usar derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função dada implicitamente para determinar a inclinação da reta tangente. A equação é:
Para derivar essa equação em relação a
, usamos a derivação implícita, que permite derivar ambos os lados da equação mesmo que
esteja em função de
.
Passo 3
Derivando cada termo em relação a
:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 4
Isolando
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 5
Agora, substituímos o ponto dado
na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação da reta tangente e o ponto dado, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e o ponto
:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 7
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar sua inclinação, usamos o relacionamento de perpendicularidade: se a inclinação da reta tangente é
, então a inclinação da reta normal é
.
Nesse caso:
Passo 8
Usando novamente a fórmula da reta ponto-inclinação para a reta normal:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A reta tangente no ponto
é
e a reta normal é
.