Determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada implicitamente pela equação, no ponto indicado:
x^230-y^220=1, em (6,-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada pela equação x^230 - y^220 = 1 no ponto (6, -2). Isso está relacionado ao estudo de Geometria Analítica, especificamente sobre como encontrar retas tangentes e normais a curvas definidas implicitamente. Vamos precisar usar derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função dada implicitamente para determinar a inclinação da reta tangente. A equação é:
x^230 - y^220 = 1
Para derivar essa equação em relação a , usamos a derivação implícita, que permite derivar ambos os lados da equação mesmo que esteja em função de .

Passo 3

Derivando cada termo em relação a ddx(x^230) - ddx(y^220) = ddx(1) :
2x30 - 2y20 cdot dydx = 0
Calculando as derivadas:
x15 - y10 cdot dydx = 0
Simplificando:

Passo 4

Isolando y10 cdot dydx = x15 para encontrar a inclinação da reta tangente:
dydx = x15 cdot 10y
dydx = 2x3y

Passo 5

Agora, substituímos o ponto dado mtan>=nte = 2 cdot 63 cdot (-2) = 12-6 = -2 na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação da reta tangente e o ponto dado, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m (x - x1)
Substituindo y - (-2) = -2 (x - 6) e o ponto y + 2 = -2x + 12 :
y = -2x + 10
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 7

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar sua inclinação, usamos o relacionamento de perpendicularidade: se a inclinação da reta tangente é mnormal = -1-2 = 12 , então a inclinação da reta normal é .
Nesse caso:

Passo 8

Usando novamente a fórmula da reta ponto-inclinação para a reta normal:
y - (-2) = 12 (x - 6)
y + 2 = 12x - 3
y = 12x - 5
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente no ponto é e a reta normal é .

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