Calcule a integral dupla da função f(x, y)=y e^{x^{3}} no conjunto B: 0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq x.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede: calcular a integral dupla de f(x,y)=y e^{x^{3}} sobre o conjunto B.
  • O conjunto B é dado por: 0 \leq x \leq 2,\qquad 0 \leq y \leq x.
  • Portanto a tarefa é calcular \iint_{B} y e^{x^{3}}\,dA.

Passo 2

Montar a integral iterada e integrar em relação a y primeiro.
  • Como o conjunto B está descrito por x indo de 0 a 2 e, para cada x, y indo de 0 a x, a integral dupla pode ser escrita como integral iterada na ordem dy\,dx: \iint_{B} y e^{x^{3}}\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{x} y e^{x^{3}}\,dy\right)dx.
  • Observação importante (útil na prova): quando integramos em relação a y, tratamos x como constante. Assim e^{x^{3}} é constante no integral interno em y.
  • Calculando o integral interno: \int_{y=0}^{x} y e^{x^{3}}\,dy = e^{x^{3}}\int_{y=0}^{x} y\,dy.
  • A primitiva de y em y é \tfrac{1}{2}y^{2}. Avaliando de 0 a x obtemos \tfrac{1}{2}x^{2}. Então \int_{y=0}^{x} y e^{x^{3}}\,dy = e^{x^{3}}\cdot \frac{1}{2}x^{2} = \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{3}}.
  • Substituindo no integral externo, restará um integral em uma variável: \iint_{B} y e^{x^{3}}\,dA = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{3}}\,dx.

Passo 3

Resolver o integral unidimensional usando substituição (troca de variável).
  • Notar a estrutura do integrando \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{3}}: aparece e^{x^{3}} e também x^{2}\,dx, que é quase a derivada de x^{3}. Isso sugere a substituição u = x^{3}.
  • Diferenciando, obtemos du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
  • Mudar os limites: quando x=0 então u=0^{3}=0; quando x=2 então u=2^{3}=8.
  • Substituindo na integral: \int_{0}^{2} \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{u=0}^{8} e^{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{6}\int_{0}^{8} e^{u}\,du.

Passo 4

Calcular o integral resultante e obter a resposta numérica simbólica.
  • A primitiva de e^{u} é e^{u}. Portanto \frac{1}{6}\int_{0}^{8} e^{u}\,du = \frac{1}{6}\left[e^{u}\right]_{0}^{8} = \frac{1}{6}\bigl(e^{8}-e^{0}\bigr).
  • Como e^{0}=1, isso simplifica para \frac{1}{6}\bigl(e^{8}-1\bigr).

Passo 5

Comentário didático rápido sobre a escolha do método (útil para a prova).
  • Por que integramos primeiro em y? Porque e^{x^{3}} é independente de y, o que torna a integral em y imediata e reduz o problema a um único integral em x.
  • Se tivéssemos tentado integrar primeiro em x (ou seja, trocar a ordem), ficaríamos com uma integral de e^{x^{3}} em x sem um fator que seja exatamente sua derivada, o que é bem mais difícil. Por isso, sempre verifique se a ordem dada permite simplificação (fatores independentes da variável interna etc.).
  • Dica prática: quando vir e^{x^{3}} junto com x^{2} ou quando a região sugere integrar em y primeiro, pense em usar substituição u=x^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\bigl(e^{8}-1\bigr)

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