Calcule a integral dupla da função
no conjunto
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pede: calcular a integral dupla de
sobre o conjunto . - O conjunto
é dado por: - Portanto a tarefa é calcular
Passo 2
Montar a integral iterada e integrar em relação a
primeiro.
- Como o conjunto
está descrito por indo de a e, para cada , indo de a , a integral dupla pode ser escrita como integral iterada na ordem : - Observação importante (útil na prova): quando integramos em relação a
, tratamos como constante. Assim é constante no integral interno em . - Calculando o integral interno:
- A primitiva de
em é . Avaliando de a obtemos . Então - Substituindo no integral externo, restará um integral em uma variável:
Passo 3
Resolver o integral unidimensional usando substituição (troca de variável).
- Notar a estrutura do integrando
: aparece e também , que é quase a derivada de . Isso sugere a substituição - Diferenciando, obtemos
- Mudar os limites: quando
então ; quando então . - Substituindo na integral:
Passo 4
Calcular o integral resultante e obter a resposta numérica simbólica.
- A primitiva de
é . Portanto - Como
, isso simplifica para
Passo 5
Comentário didático rápido sobre a escolha do método (útil para a prova).
- Por que integramos primeiro em
? Porque é independente de , o que torna a integral em imediata e reduz o problema a um único integral em . - Se tivéssemos tentado integrar primeiro em
(ou seja, trocar a ordem), ficaríamos com uma integral de em sem um fator que seja exatamente sua derivada, o que é bem mais difícil. Por isso, sempre verifique se a ordem dada permite simplificação (fatores independentes da variável interna etc.). - Dica prática: quando vir
junto com ou quando a região sugere integrar em primeiro, pense em usar substituição .