Calcule a integral dupla da função indicada no retângulo Q dado.
f(x, y)=x y(x+y), Q=[0,1] times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
f(x,y)=x,y,(x+y)
sobre o retângulo
Q = [0,1]times[0,1]
O conteúdo necessário é conhecer o conceito de integral dupla como integral iterada e saber integrar polinômios em cada variável.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como integral iterada na ordem dx,dy:
integral duplaQ f(x,y),dA = integral0^1!integral0^1 x,y,(x+y),dx,dy

Passo 3

Dentro da integral interna em x, expandimos
x,y,(x+y) = x^2,y + x,y^2
Portanto,
integral0^1x,y,(x+y),dx = integral0^1l(x^2,y + x,y^2r),dx = yintegral0^1x^2,dx + y^2integral0^1x,dx = ycdot13 + y^2cdot12 = y3 + y^22

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1l(y3 + y^22r),dy = 13integral0^1y,dy + 12integral0^1y^2,dy = 13cdot12 + 12cdot13 = 16 + 16 = 13

Resposta

integral duplaQx,y,(x+y),dA = 13

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