Calcule o volume dos seguintes sólidos.
Região do primeiro octante do
limitada pelos planos verticais
e pela sela de cavalo
Região do primeiro octante do
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido em primeiro octante (ou seja
,
,
) limitado pelos planos
,
e pela superfície dada por
que pode ser reescrita como
Para calcular esse volume usamos a ideia de integral tripla que, por ser um “sólido sob a superfície” em relação ao plano
, se reduz a uma integral dupla
com
e
, desde que
.
Passo 2
Temos então que na projeção no plano
a região
é
A condição
é equivalente a
. Note que, para
, precisamos de
. Logo
Passo 3
Escrevendo a integral iterada para o volume, temos
Primeiro calculamos a integral interna em
:
Isso dá
Passo 4
Agora integramos em
:
Cada termo vale
Assim
Ao simplificar surge