Calcule o volume dos seguintes sólidos.
Região do primeiro octante do R^3 limitada pelos planos verticais x=3, y=2 e pela sela de cavalo x y-z=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em primeiro octante (ou seja x>=0, y>=0, z>=0) limitado pelos planos x=3, y=2 e pela superfície dada por
xy - z = 1,
que pode ser reescrita como
z = xy - 1
Para calcular esse volume usamos a ideia de integral tripla que, por ser um “sólido sob a superfície” em relação ao plano xy, se reduz a uma integral dupla
V = integral duplaD l(ztop(x,y) - zbot(x,y)r),dA
com zbot=0 e ztop=xy-1, desde que xy-1>=0.

Passo 2

Temos então que na projeção no plano xy a região D é
D = l(x,y)mid 0<= x<=3,;0<= y<=2,;xy-1>=0r
A condição xy-1>=0 é equivalente a y>=1x. Note que, para 1x<=2, precisamos de x>=12. Logo
xinl[tfrac12,3r], yinl[tfrac1x,2r]

Passo 3

Escrevendo a integral iterada para o volume, temos
V = integralx=1/2^3integraly=1/x^2 (xy - 1),dy,dx
Primeiro calculamos a integral interna em y:
integraly=1/x^2(xy-1),dy = xintegral1/x^2y,dy - integral1/x^21,dy = xl[tfracy^22r]1/x^2 - l[yr]1/x^2
Isso dá
xl(2 - tfrac12x^2r) - l(2 - tfrac1xr) = 2x - tfrac12x -2 + tfrac1x = 2x -2 + tfrac12x

Passo 4

Agora integramos em x:
V = integral1/2^3l(2x -2 + tfrac12xr),dx = integral1/2^32x,dx ;-; integral1/2^32,dx ;+; integral1/2^3tfrac12x,dx
Cada termo vale
integral2x,dx = x^2, integral2,dx = 2x, integraltfrac12x,dx = tfrac12ln x
Assim
V = l[x^2 - 2x + tfrac12ln xr]1/2^3 = l(9 - 6 + tfrac12ln3r) - l(tfrac14 - 1 + tfrac12lntfrac12r)
Ao simplificar surge
V = 154 + 12ln6

Resposta

V = 154 + 12ln6

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