Determine o comprimento exato de cada curva
a seguir.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva planar
para
.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva, que usamos pela fórmula
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva, que usamos pela fórmula
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
gamma . Como
gamma(t)=l(x(t),y(t)r) com
x(t)=tfrac23t^3 e
y(t)=t^2-2 ,
temos
temos
logo
gamma'(t)=l(2t^2,,2tr) .
Passo 3
Agora computamos a norma de
gamma'(t) :
Passo 4
O comprimento de arco é
Fazemos a substituição
u=t^2+1 ,
du=2t,dt . Quando
t=0 vem
u=1 e quando
t=3 vem
u=10 . Então
Passo 5
Integramos
integral u^1/2du :
Resposta
O comprimento exato da curva é