Determine o comprimento exato de cada curva gamma a seguir.
gamma(t)=(23 t^3, t^2-2), 0 <= t <= 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva planar
gamma(t)=l(tfrac23t^3,;t^2-2r) para 0<= t<=3.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva, que usamos pela fórmula
L=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de gamma. Como
gamma(t)=l(x(t),y(t)r) com x(t)=tfrac23t^3 e y(t)=t^2-2,
temos
x'(t)=2t^2, y'(t)=2t,
logo
gamma'(t)=l(2t^2,,2tr).

Passo 3

Agora computamos a norma de gamma'(t):
l|gamma'(t)r| =raiz(2t^2)^2+(2t)^2 =raiz4t^4+4t^2 =raiz4t^2,(t^2+1) =2traizt^2+1

Passo 4

O comprimento de arco é
L=integral0^32traizt^2+1,dt
Fazemos a substituição u=t^2+1, du=2t,dt. Quando t=0 vem u=1 e quando t=3 vem u=10. Então
L=integralu=1^10raizu,du

Passo 5

Integramos integral u^1/2du:
integral1^10u^1/2du =[tfrac23u^3/2]1^10 =tfrac23l(10^3/2-1^3/2r) =tfrac23l(10raiz10-1r)

Resposta

O comprimento exato da curva é
boxedL=tfrac23l(10raiz10-1r)

Exercícios relacionados