Questão 1 ( 1,5 pontos)
Considere a função definida por f(x)=raiz|x^2-3 x|.
a) Escreva f(x) como uma função definida por partes, sem usar valor absoluto.
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa x=-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raizl|x^2-3xr|
e pede:
a) escrevê-la em forma de função definida por partes, sem o valor absoluto;
b) encontrar a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=-1.
Vamos usar o estudo de sinal de x^2-3x para (a) e a derivada por regra da cadeia para (b).

Passo 2

Resolvendo
x^2-3x>= 0
temos
x(x-3)>= 0
que ocorre para x<= 0 ou x>= 3. Em 0<x<3 a expressão é negativa.

Passo 3

Concluímos
|x^2-3x|= x^2-3x, & x<= 0 ou x>= 3, -(x^2-3x)=3x-x^2, & 0<= x<= 3
Assim
f(x)= raizx^2-3x, & x<= 0, raiz3x-x^2, & 0<= x<= 3, raizx^2-3x, & x>= 3

Passo 4

Como -1<= 0, usamos o ramo raizx^2-3x em x=-1. Logo
f(-1)=raiz(-1)^2-3(-1)=raiz1+3=2

Passo 5

Para x<= 0 temos f(x)=(x^2-3x)^1/2. Pela regra da cadeia,
f'(x)=12raizx^2-3xcdot(2x-3) =2x-32raizx^2-3x

Passo 6

Em x=-1 isso dá
f'(-1)=2(-1)-32raiz(-1)^2-3(-1)=-2-32cdot2=-tfrac54

Passo 7

A reta tangente em x0=-1 satisfaz
y-f(-1)=f'(-1),(x+1),
isto é
y-2=-tfrac54(x+1),
e, simplificando,
y=-tfrac54x+tfrac34

Resposta

a)
f(x)= raizx^2-3x, & x<= 0, raiz3x-x^2, & 0<= x<= 3, raizx^2-3x, & x>= 3
b) A reta tangente em x=-1 é
boxedy=-tfrac54x+tfrac34

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