Calcule a integral dupla da função indicada no retângulo Q dado.
f(x, y)=2 y log (x+y^2), Q=[1,3] times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaQ2ylnl(x+y^2r),dx,dy, Q=[1,3]times[1,2]
Aqui vamos usar o Teorema de Fubini para separar em integral iterada, depois tratar a integral em x via substituição e verbas de integração, e em seguida a integral em y via nova substituição e partes.

Passo 2

Para cada y fixo temos a integral interna
integral1^32ylnl(x+y^2r),dx
Fazemos a substituição
u = x+y^2, du = dx, quando x=1Rightarrow u=1+y^2,; x=3Rightarrow u=3+y^2
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integral1^32yln(x+y^2),dx =2yintegral1+y^2^3+y^2ln u,du =2yl[uln u - ur]u=1+y^2^u=3+y^2
=2yl[(3+y^2)ln(3+y^2)-(1+y^2)ln(1+y^2)-2r]

Passo 3

Agora integramos em y de 1 a 2:
integral1^22yl[(3+y^2)ln(3+y^2)-(1+y^2)ln(1+y^2)-2r]dy
Fazemos a substituição
t = y^2, dt = 2y,dy, y=1Rightarrow t=1,; y=2Rightarrow t=4,
ficando
integralt=1^4l[(t+3)ln(t+3)-(t+1)ln(t+1)-2r],dt

Passo 4

Decompondo em partes:
I=integral1^4(t+3)ln(t+3),dt -integral1^4(t+1)ln(t+1),dt -integral1^42,dt
Em cada uma das duas primeiras usamos nova mudança de variável e depois integração por partes.
Para
I1=integral1^4(t+3)ln(t+3),dt u=t+3,;du=dt,;u(1)=4,;u(4)=7,
I1=integral4^7uln u,du =l[tfracu^22ln u-tfracu^24r]4^7 =492ln7-494-l(8ln4-4r)
Análogo para
I2=integral1^4(t+1)ln(t+1),dt v=t+1,;v(1)=2,;v(4)=5,
I2=integral2^5vln v,dv =l[tfracv^22ln v-tfracv^24r]2^5 =252ln5-254-l(2ln2-1r)
E
integral1^42,dt=2cdot(4-1)=6

Passo 5

Substituindo tudo em I=I1-I2-6 e simplificando constantes e ln4=2ln2, obtemos
I =492ln7-494-8ln4+4 -l(252ln5-254-2ln2+1r) -6
=492ln7-252ln5-14ln2-9 =12l[49ln7-25ln5-28ln2r]-9

Resposta

integral duplaQ2yln(x+y^2),dx,dy =12l[49ln7-25ln5-28ln2r]-9

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