Questão 3. Determine se as séries geométricas abaixo são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty pi^n-13^n.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftypi^n-13^n
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é série geométrica, para a qual precisaremos do critério de convergência e da fórmula da soma.

Passo 2

Lembrando que uma série geométrica
sumn=1^infty a,r^n-1
converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Quando isso ocorre, sua soma é
S = a1 - r

Passo 3

Vamos reescrever o termo geral da nossa série na forma a,r^n-1. Note que
pi^n-13^n = 13,l(pi3r)^n-1
Dessa forma o primeiro termo é a = tfrac13 e a razão é r = tfracpi3.

Passo 4

Para convergir precisaríamos de lvert rrvert<1, mas aqui
lvert rrvert = pi3 > 1
pois piapprox3,14. Logo a condição de convergência não se satisfaz e a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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