Determine a temperatura de etado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas. Use a equação de Laplace
.
Passo 1
O problema consiste em encontrar a temperatura de regime permanente numa chapa retangular 0<x<a, 0<y<b, satisfazendo a equação de Laplace
com as condições de contorno
,
,
e
. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação de Laplace obtemos
Passo 3
Isso implica em duas equações ordinárias com constante de separação
:
Passo 4
Da condição
(contorno homogêneo em x) obtemos autovalores
e autofunções
Passo 5
Para cada
, a equação em y tem solução geral
. A condição
exige
, o que leva a
Passo 6
Para determinar os coeficientes
, usamos a condição
, ou seja
Passo 7
Usando a ortogonalidade das senóides em [0,a] obtemos
Passo 8
Substituindo
de volta na série, chegamos à expressão final de
.