Determine a temperatura de etado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas. Use a equação de Laplace ux x+uy y=0.
u(0, y)=0, u(a, y)=0
u(x, 0)=f(x), u(x, b)=0

Passo 1

O problema consiste em encontrar a temperatura de regime permanente numa chapa retangular 0<x<a, 0<y<b, satisfazendo a equação de Laplace uxx+uyy=0 com as condições de contorno u(0,y)=0, u(a,y)=0, u(x,b)=0 e u(x,0)=f(x). Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma u(x,y)=X(x),Y(y). Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0

Passo 3

Isso implica em duas equações ordinárias com constante de separação lambda:
X''+lambda X=0, Y''-lambda Y=0

Passo 4

Da condição X(0)=X(a)=0 (contorno homogêneo em x) obtemos autovalores lambdan=(npi/a)^2 e autofunções
Xn(x)=sinl(npiaxr), n=1,2,3,dots

Passo 5

Para cada n, a equação em y tem solução geral Yn(y)=Cnsinh(tfracnpiay)+Dncosh(tfracnpiay). A condição u(x,b)=0 exige Yn(b)=0, o que leva a
Yn(y)=sinhl(npia(b-y)r) até um fator constante. Assim a solução em série fica
u(x,y)=sumn=1^infty Ansinl(npiaxr)sinhl(npia(b-y)r)

Passo 6

Para determinar os coeficientes An, usamos a condição u(x,0)=f(x), ou seja
f(x)=sumn=1^infty Ansinl(npiaxr)sinhl(npiabr)

Passo 7

Usando a ortogonalidade das senóides em [0,a] obtemos
An=2asinh(tfracnpiab)integral0^a f(xi)sinl(npiaxir),dxi

Passo 8

Substituindo An de volta na série, chegamos à expressão final de u(x,y).

Resposta

u(x,y)=sumn=1^infty (2asinhl(tfracnpiabr)integral0^a f(xi)sinl(tfracnpiaxir),dxi)sinl(npiaxr)sinhl(npia(b-y)r)

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