Calcule a integral dupla
\iint_{[0,1] \times[0,2]}(x+y) d A

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla sobre o retângulo [0,1]\times[0,2] com integrando x+y. As informações relevantes são:
  • Região de integração: [0,1]\times[0,2], ou seja 0 \le x \le 1 e 0 \le y \le 2.
  • Integrando: x+y.
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral
\iint_{[0,1]\times[0,2]}(x+y)\,dA.

Passo 2

O que é essa integral dupla na prática? Pense em dA como o elemento de área no plano xy: dA = dx\,dy (ou dy\,dx). A integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada, por exemplo
\iint_{[0,1]\times[0,2]} f(x,y)\,dA = \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} f(x,y)\,dx\right)dy.
Isto é uma forma de aplicar o teorema de Fubini: em retângulos (e funções contínuas) dá para integrar em qualquer ordem. Aqui vamos usar essa ideia e integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral do somatório é a soma das integrais. Assim
\iint_{[0,1]\times[0,2]}(x+y)\,dA = \iint_{[0,1]\times[0,2]} x\,dA + \iint_{[0,1]\times[0,2]} y\,dA.
Irei calcular cada uma separadamente usando integrais iteradas.

Passo 4

Calcular \iint_{[0,1]\times[0,2]} x\,dA. Escrevendo como integral iterada integrando primeiro em x:
\iint_{[0,1]\times[0,2]} x\,dA = \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} x\,dx\right)dy.
Agora calculo a integral interna \int_{0}^{1} x\,dx. Explicando: a primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2}, então
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\tfrac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Substituindo de volta,
\iint_{[0,1]\times[0,2]} x\,dA = \int_{0}^{2} \tfrac{1}{2}\,dy = \tfrac{1}{2}\cdot\left.\,y\right|_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1.

Passo 5

Calcular \iint_{[0,1]\times[0,2]} y\,dA. Posso integrar primeiro em y ou em x; aqui é conveniente integrar em y dentro da integral em x:
\iint_{[0,1]\times[0,2]} y\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} y\,dy\right)dx.
Calculo a integral interna \int_{0}^{2} y\,dy. A primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}, então
\int_{0}^{2} y\,dy = \left.\tfrac{1}{2}y^{2}\right|_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.
Substituindo,
\iint_{[0,1]\times[0,2]} y\,dA = \int_{0}^{1} 2\,dx = 2\cdot\left.\,x\right|_{0}^{1} = 2\cdot 1 = 2.

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais (veja Passos 4 e 5),
\iint_{[0,1]\times[0,2]}(x+y)\,dA = 1 + 2 = 3.

Resposta

3

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