Calcule a integral dupla
\iint_{R} y e^{-x y} d A, R=[0,2] \times[0,3]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} y e^{-x y}\,dA,
onde a região R é o retângulo R=[0,2]\times[0,3].
Dados relevantes:
  • A função a integrar é f(x,y)=y e^{-x y}.
  • A região é um retângulo com 0\le x\le 2 e 0\le y\le 3.
    A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla sobre R?

Passo 2

Estratégia e justificativa (sem pânico — é simples): como f(x,y) é contínua em um retângulo, vale o Teorema de Fubini e podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Escreveremos a integral iterada integrando primeiro em x (porque y aparece como fator multiplicativo e facilita a antiderivada) e depois em y. Assim:
\iint_{R} y e^{-x y}\,dA = \int_{y=0}^{3}\left(\int_{x=0}^{2} y e^{-x y}\,dx\right)dy.

Passo 3

Calcular a integral interna em x: aqui y é constante no cálculo dessa integral. Observação útil: a derivada em relação a x de e^{-x y} é \dfrac{d}{dx}e^{-x y} = -y e^{-x y}. Por isso a antiderivada de y e^{-x y} em x é -e^{-x y}. Formalmente,
\int_{x=0}^{2} y e^{-x y}\,dx = \Big[-e^{-x y}\Big]_{x=0}^{x=2} = -e^{-2y} - \big(-e^{0}\big) = 1 - e^{-2y}.
Portanto a integral dupla vira
\iint_{R} y e^{-x y}\,dA = \int_{0}^{3}\big(1 - e^{-2y}\big)\,dy.

Passo 4

Calcular a integral externa em y. Vamos achar a antiderivada de 1 - e^{-2y}:
  • \displaystyle \int 1\,dy = y.
  • \displaystyle \int e^{-2y}\,dy = -\frac{1}{2}e^{-2y} (verifique derivando: -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)e^{-2y}=e^{-2y}).
    Logo uma primitiva de 1 - e^{-2y} é
y + \frac{1}{2}e^{-2y}.
Avaliaremos entre y=0 e y=3:
\Big[y + \frac{1}{2}e^{-2y}\Big]_{0}^{3} = \left(3 + \frac{1}{2}e^{-6}\right) - \left(0 + \frac{1}{2}e^{0}\right) = 3 + \frac{1}{2}e^{-6} - \frac{1}{2}.
Fazendo a conta final:
3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2},
portanto o resultado é
\frac{5}{2} + \frac{1}{2}e^{-6}.

Resposta

\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}e^{-6}

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