Calcule a integral dupla
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
.
Dados relevantes:
Dados relevantes:
- A função a integrar é
. - A região é um retângulo com
e .
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla sobre?
Passo 2
Estratégia e justificativa (sem pânico — é simples): como
é contínua em um retângulo, vale o Teorema de Fubini e podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Escreveremos a integral iterada integrando primeiro em
(porque
aparece como fator multiplicativo e facilita a antiderivada) e depois em
. Assim:
Passo 3
Calcular a integral interna em
: aqui
é constante no cálculo dessa integral. Observação útil: a derivada em relação a
de
é
. Por isso a antiderivada de
em
é
. Formalmente,
Portanto a integral dupla vira
Passo 4
Calcular a integral externa em
. Vamos achar a antiderivada de
:
-
. -
(verifique derivando: ).
Logo uma primitiva deé
Avaliaremos entre
e
:
Fazendo a conta final:
portanto o resultado é