e que a curvatura \kappa(t) de uma curva regular \mathbf{r}(t) pode ser definida por
\kappa(t)=\frac{\left\|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|^{3}} \quad\left(\text { equivalente a } \kappa(t)=\frac{\left\|T^{\prime}(t)\right\|}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|}\right)
Em cada item abaixo determine o parâmetro t correspondente ao ponto indicado e calcule, nesse valor de t,
T(t), \quad N(t), \quad B(t), \quad \kappa(t) .
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, \frac{2}{3} t^{3}, t\right\rangle, avaliar no ponto ( 1, \frac{2}{3}, 1 ).
Passo 1
O enunciado pede, para a curva \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, \tfrac{2}{3}t^{3}, t\right\rangle, que se determine o valor do parâmetro t correspondente ao ponto \left(1,\tfrac{2}{3},1\right) e, nesse valor de t, calcule:
T(t),\quad N(t),\quad B(t),\quad \kappa(t).
Informações dadas e fórmulas que vamos usar (retiradas do enunciado):
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada de \mathbf{r} em t (velocidade), \mathbf{r}''(t) é a derivada segunda (aceleração), \|\cdot\| é a norma euclidiana e \times é o produto vetorial (cross product). A primeira ação é encontrar t tal que \mathbf{r}(t)=\left(1,\tfrac{2}{3},1\right).
Passo 2
Achar t a partir das componentes de \mathbf{r}(t).
Da terceira equação segue diretamente t=1. Verificando as outras: t^{2}=1^{2}=1 e \tfrac{2}{3}t^{3}=\tfrac{2}{3}\cdot1^{3}=\tfrac{2}{3}. Logo o parâmetro correspondente ao ponto é
t=1.
Passo 3
Calcular \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) e avaliá-los em t=1.
Comentário didático curto: para tornar um vetor unitário, divide-se o vetor pela sua norma — isto orienta a direção (mesma direção) e normaliza o comprimento para 1.
Passo 5
Calcular a curvatura \kappa(1) usando a fórmula com produto vetorial.
Explicação didática: a curvatura mede quanto a trajetória “vira” por unidade de comprimento; o numerador \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\| envolve quanto a velocidade e aceleração não estão colineares (se forem colineares, curva é plana sem curvatura).
Passo 6
Calcular o versor normal unitário N(1) de forma prática (sem derivar T(t) explicitamente).
Há uma fórmula conveniente para N em termos de \mathbf{r}' e \mathbf{r}'':
Motivação curta: (\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\times\mathbf{r}' é um vetor ortogonal a \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' e colinear com a componente de \mathbf{r}'' perpendicular a \mathbf{r}', ou seja, aponta na direção do vetor normal principal; a divisão normaliza apropriadamente.
Usando os vetores que já temos: A=\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)=\langle -4,2,4\rangle e \mathbf{r}'(1)=\langle 2,2,1\rangle.
Calcular A\times\mathbf{r}'(1):
Verificação rápida: \|N(1)\|=\sqrt{(\tfrac{1}{3})^{2}+(\tfrac{2}{3})^{2}+(\tfrac{2}{3})^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}}=1 e T(1)\cdot N(1)=0, como esperado.