Sabendo que os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal são dados por
T(t)=\frac{r^{\prime}(t)}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|}, \quad N(t)=\frac{T^{\prime}(t)}{\left\|T^{\prime}(t)\right\|}, \quad B(t)=T(t) \times N(t),
e que a curvatura \kappa(t) de uma curva regular \mathbf{r}(t) pode ser definida por
\kappa(t)=\frac{\left\|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|^{3}} \quad\left(\text { equivalente a } \kappa(t)=\frac{\left\|T^{\prime}(t)\right\|}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|}\right)
Em cada item abaixo determine o parâmetro t correspondente ao ponto indicado e calcule, nesse valor de t,
T(t), \quad N(t), \quad B(t), \quad \kappa(t) .
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, \frac{2}{3} t^{3}, t\right\rangle, avaliar no ponto ( 1, \frac{2}{3}, 1 ).

Passo 1

O enunciado pede, para a curva \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, \tfrac{2}{3}t^{3}, t\right\rangle, que se determine o valor do parâmetro t correspondente ao ponto \left(1,\tfrac{2}{3},1\right) e, nesse valor de t, calcule:
T(t),\quad N(t),\quad B(t),\quad \kappa(t).
Informações dadas e fórmulas que vamos usar (retiradas do enunciado):
T(t)=\frac{r'(t)}{\left\|r'(t)\right\|},\qquad N(t)=\frac{T'(t)}{\left\|T'(t)\right\|},\qquad B(t)=T(t)\times N(t),
\kappa(t)=\frac{\left\|r'(t)\times r''(t)\right\|}{\left\|r'(t)\right\|^{3}}.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada de \mathbf{r} em t (velocidade), \mathbf{r}''(t) é a derivada segunda (aceleração), \|\cdot\| é a norma euclidiana e \times é o produto vetorial (cross product). A primeira ação é encontrar t tal que \mathbf{r}(t)=\left(1,\tfrac{2}{3},1\right).

Passo 2

Achar t a partir das componentes de \mathbf{r}(t).
As componentes de \mathbf{r}(t) são:
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=\tfrac{2}{3}t^{3},\qquad z(t)=t.
Para obter o ponto dado devemos resolver
t^{2}=1,\qquad \tfrac{2}{3}t^{3}=\tfrac{2}{3},\qquad t=1.
Da terceira equação segue diretamente t=1. Verificando as outras: t^{2}=1^{2}=1 e \tfrac{2}{3}t^{3}=\tfrac{2}{3}\cdot1^{3}=\tfrac{2}{3}. Logo o parâmetro correspondente ao ponto é
t=1.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) e avaliá-los em t=1.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\left\langle 2t,\;2t^{2},\;1\right\rangle,\qquad \mathbf{r}''(t)=\left\langle 2,\;4t,\;0\right\rangle.
Avaliar em t=1:
\mathbf{r}'(1)=\left\langle 2,\;2,\;1\right\rangle,\qquad \mathbf{r}''(1)=\left\langle 2,\;4,\;0\right\rangle.
Calcular a norma de \mathbf{r}'(1):
\left\|\mathbf{r}'(1)\right\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Calcular o versor tangente unitário T(1).
Pela definição,
T(1)=\frac{\mathbf{r}'(1)}{\left\|\mathbf{r}'(1)\right\|} =\frac{\left\langle 2,2,1\right\rangle}{3} =\left\langle \tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right\rangle.
Comentário didático curto: para tornar um vetor unitário, divide-se o vetor pela sua norma — isto orienta a direção (mesma direção) e normaliza o comprimento para 1.

Passo 5

Calcular a curvatura \kappa(1) usando a fórmula com produto vetorial.
Fórmula usada:
\kappa(t)=\frac{\left\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\right\|}{\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|^{3}}.
Primeiro calculamos o produto vetorial em t=1. Usando a matriz determinante:
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix} =\left\langle -4,\;2,\;4\right\rangle.
Verificação rápida dos componentes:
  • componente i: 2\cdot0-1\cdot4=-4,
  • componente j: -(2\cdot0-1\cdot2)=2,
  • componente k: 2\cdot4-2\cdot2=4.
Norma do produto vetorial:
\left\|\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)\right\| =\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}+4^{2}} =\sqrt{16+4+16} =\sqrt{36}=6.
Agora a curvatura:
\kappa(1)=\frac{6}{\left\|\mathbf{r}'(1)\right\|^{3}} =\frac{6}{3^{3}}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.
Explicação didática: a curvatura mede quanto a trajetória “vira” por unidade de comprimento; o numerador \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\| envolve quanto a velocidade e aceleração não estão colineares (se forem colineares, curva é plana sem curvatura).

Passo 6

Calcular o versor normal unitário N(1) de forma prática (sem derivar T(t) explicitamente).
Há uma fórmula conveniente para N em termos de \mathbf{r}' e \mathbf{r}'':
N=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\times\mathbf{r}'}{\left\|\mathbf{r}'\right\|\;\left\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right\|}.
Motivação curta: (\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\times\mathbf{r}' é um vetor ortogonal a \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' e colinear com a componente de \mathbf{r}'' perpendicular a \mathbf{r}', ou seja, aponta na direção do vetor normal principal; a divisão normaliza apropriadamente.
Usando os vetores que já temos: A=\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)=\langle -4,2,4\rangle e \mathbf{r}'(1)=\langle 2,2,1\rangle.
Calcular A\times\mathbf{r}'(1):
A\times\mathbf{r}'(1) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -4 & 2 & 4 \\\\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} =\left\langle -6,\;12,\;-12\right\rangle.
Denominador:
\left\|\mathbf{r}'(1)\right\|\;\left\|\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1)\right\| =3\cdot 6=18.
Logo
N(1)=\frac{\left\langle -6,12,-12\right\rangle}{18} =\left\langle -\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right\rangle.
Verificação rápida: \|N(1)\|=\sqrt{(\tfrac{1}{3})^{2}+(\tfrac{2}{3})^{2}+(\tfrac{2}{3})^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}}=1 e T(1)\cdot N(1)=0, como esperado.

Passo 7

Calcular o binormal B(1)=T(1)\times N(1).
Já temos
T(1)=\left\langle \tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right\rangle,\qquad N(1)=\left\langle -\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right\rangle.
Produto vetorial:
B(1)=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \\\\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} \end{vmatrix} =\left\langle -\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right\rangle.
Verificações rápidas: \|B(1)\|=1 e B(1) é ortogonal a T(1) e a N(1) (triad de Frenet ortonormal).

Resposta

T(1)=\left\langle \tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right\rangle
N(1)=\left\langle -\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right\rangle
B(1)=\left\langle -\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right\rangle
\kappa(1)=\tfrac{2}{9}

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