Sabendo que os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal são dados por
T(t)=\frac{r^{\prime}(t)}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|}, \quad N(t)=\frac{T^{\prime}(t)}{\left\|T^{\prime}(t)\right\|}, \quad B(t)=T(t) \times N(t),
e que a curvatura \kappa(t) de uma curva regular \mathbf{r}(t) pode ser definida por
\kappa(t)=\frac{\left\|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|^{3}} \quad\left(\text { equivalente a } \kappa(t)=\frac{\left\|T^{\prime}(t)\right\|}{\left\|r^{\prime}(t)\right\|}\right)
Em cada item abaixo determine o parâmetro t correspondente ao ponto indicado e calcule, nesse valor de t,
T(t), \quad N(t), \quad B(t), \quad \kappa(t) .
\mathbf{r}(t)=\langle\cos t, \sin t, \ln (\cos t)\rangle, avaliar no ponto (1,0,0).

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e os dados que tenho.
  • O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\\ \sin t,\\ \ln(\cos t)\rangle.
  • Pede: determinar o(s) parâmetro(s) t correspondente(s) ao ponto (1,0,0) e, nesse(s) valor(es) de t, calcular
T(t),\quad N(t),\quad B(t),\quad \kappa(t).
  • Para o ponto (1,0,0) devo resolver o sistema (pegando as coordenadas da curva):
\cos t = 1,\qquad \sin t = 0,\qquad \ln(\cos t)=0.
Observação sobre a terceira equação: \ln(\cos t)=0 implica \cos t=1, então as três equações são compatíveis exatamente quando \cos t=1 e \sin t=0.

Passo 2

Encontrar os valores de t que geram o ponto (1,0,0).
  • Resolver \cos t = 1 e \sin t=0. As soluções são
t = 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto a curva passa pelo ponto (1,0,0) em todos os parâmetros t=2\pi k. Vou tomar o representante principal
t=0,
pois é o valor mais simples e equivalente aos demais por periodicidade. (Se for necessário, todas as quantidades avaliadas em t=2\pi k têm o mesmo valor por periodicidade das funções trigonométricas e da \ln(\cos t) quando \cos t=1.)

Passo 3

Calcular as derivadas primeiras e segundas de \mathbf{r}(t) (aqui explico como diferenciar cada componente).
  • Derivar componente a componente:
    • \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
    • \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
    • Para \dfrac{d}{dt}\ln(\cos t) uso a regra da cadeia: se g(t)=\ln(u(t)) então g'(t)=\dfrac{u'(t)}{u(t)}. Aqui u(t)=\cos t tem u'(t)=-\sin t. Logo \frac{d}{dt}\ln(\cos t)=\frac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t.
  • Assim
\mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\\ \cos t,\\\ -\tan t\rangle.
  • Agora a segunda derivada: derivar cada componente de \mathbf{r}'(t):
    • \dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t.
    • \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
    • \dfrac{d}{dt}(-\tan t)=-\operatorname{sec}^2 t porque \dfrac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^2 t.
  • Então
\mathbf{r}''(t)=\langle -\cos t,\\\ -\sin t,\\\ -\operatorname{sec}^2 t\rangle.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) em t=0 e calcular o vetor tangente unitário T(0).
  • Avaliando:
\mathbf{r}'(0)=\langle -\sin 0,\\ \cos 0,\\\ -\tan 0\rangle=\langle 0,\\\ 1,\\\ 0\rangle.
\mathbf{r}''(0)=\langle -\cos 0,\\\ -\sin 0,\\\ -\operatorname{sec}^2 0\rangle=\langle -1,\\\ 0,\\\ -1\rangle,
porque \operatorname{sec}^2 0 = 1.
  • Norma de \mathbf{r}'(0):
\left\|\mathbf{r}'(0)\right\|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1.
  • O vetor tangente unitário é definido por
T(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|}.
Portanto, em t=0,
T(0)=\frac{\langle 0,1,0\rangle}{1}=\langle 0,1,0\rangle.

Passo 5

Calcular a curvatura \kappa(0). Vou usar a fórmula com produto vetorial (é prática comum e muitas vezes a mais direta):
\kappa(t)=\frac{\left\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\right\|}{\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|^{3}}.
  • Primeiro o produto vetorial em t=0:
\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}.
Calcule termo a termo:
  • Componente \mathbf{i}: 1\cdot(-1)-0\cdot0=-1.
  • Componente \mathbf{j}: -(0\cdot(-1)-0\cdot(-1))=0.
  • Componente \mathbf{k}: 0\cdot0-1\cdot(-1)=1.
    Logo
\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)=\langle -1,\\\ 0,\\\ 1\rangle.
  • Norma desse vetorial:
\left\|\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)\right\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.
  • Como \left\|\mathbf{r}'(0)\right\|=1, temos
\kappa(0)=\frac{\sqrt{2}}{1^3}=\sqrt{2}.
(Comentário didático curto: alternativamente, \kappa(t)=\dfrac{\|T'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|}. Aqui \|T'(0)\|=\sqrt{2} e \|\mathbf{r}'(0)\|=1, chega-se ao mesmo resultado.)

Passo 6

Calcular o vetor normal unitário N(0). Explico a relação usada.
  • Definição: o vetor normal unitário é
N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|}.
Posso obter T'(0) de forma direta porque \|\mathbf{r}'(0)\|=1, então T(t)=\mathbf{r}'(t) em torno de t=0 no sentido de derivadas (mais precisamente, quando \|\mathbf{r}'\| é constante localmente, T'=\mathbf{r}''- projeção; aqui a projeção (\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}'')\mathbf{r}' é zero porque \mathbf{r}'(0)\cdot\mathbf{r}''(0)=0). Vou calcular explicitamente:
\mathbf{r}'(0)\cdot\mathbf{r}''(0)=\langle 0,1,0\rangle\cdot\langle -1,0,-1\rangle=0.
Logo a componente de \mathbf{r}''(0) na direção de \mathbf{r}'(0) é zero, então
T'(0)=\mathbf{r}''(0)=\langle -1,0,-1\rangle.
  • Norma de T'(0):
\|T'(0)\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • Assim o normal unitário é
N(0)=\frac{\langle -1,0,-1\rangle}{\sqrt{2}}=\left\langle -\frac{1}{\sqrt{2}},\\\ 0,\\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.

Passo 7

Calcular o binormal B(0) usando B=T\times N e verificar que é unitário.
  • Produto vetorial:
B(0)=T(0)\times N(0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}.
Calcule componente a componente:
  • \mathbf{i}: 1\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)-0\cdot0=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • \mathbf{j}: -(0\cdot(-\dfrac{1}{\sqrt{2}})-0\cdot(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}))=0.
  • \mathbf{k}: 0\cdot0-1\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Então
B(0)=\left\langle -\frac{1}{\sqrt{2}},\\\ 0,\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.
  • Norma de B(0):
\|B(0)\|=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+0^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}=1,
confirmando que é unitário.

Resposta

t=0 (ou t=2\pi k,\\ k\in\mathbb{Z})
T(0)=\langle 0,1,0\rangle
N(0)=\displaystyle\left\langle -\frac{1}{\sqrt{2}},\\\ 0,\\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle
B(0)=\displaystyle\left\langle -\frac{1}{\sqrt{2}},\\\ 0,\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle
\kappa(0)=\sqrt{2}

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