Pede: determinar o(s) parâmetro(s) t correspondente(s) ao ponto (1,0,0) e, nesse(s) valor(es) de t, calcular
T(t),\quad N(t),\quad B(t),\quad \kappa(t).
Para o ponto (1,0,0) devo resolver o sistema (pegando as coordenadas da curva):
\cos t = 1,\qquad \sin t = 0,\qquad \ln(\cos t)=0.
Observação sobre a terceira equação: \ln(\cos t)=0 implica \cos t=1, então as três equações são compatíveis exatamente quando \cos t=1 e \sin t=0.
Passo 2
Encontrar os valores de t que geram o ponto (1,0,0).
Resolver \cos t = 1 e \sin t=0. As soluções são
t = 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto a curva passa pelo ponto (1,0,0) em todos os parâmetros t=2\pi k. Vou tomar o representante principal
t=0,
pois é o valor mais simples e equivalente aos demais por periodicidade. (Se for necessário, todas as quantidades avaliadas em t=2\pi k têm o mesmo valor por periodicidade das funções trigonométricas e da \ln(\cos t) quando \cos t=1.)
Passo 3
Calcular as derivadas primeiras e segundas de \mathbf{r}(t) (aqui explico como diferenciar cada componente).
Derivar componente a componente:
\dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
\dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
Para \dfrac{d}{dt}\ln(\cos t) uso a regra da cadeia: se g(t)=\ln(u(t)) então g'(t)=\dfrac{u'(t)}{u(t)}. Aqui u(t)=\cos t tem u'(t)=-\sin t. Logo\frac{d}{dt}\ln(\cos t)=\frac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t.
(Comentário didático curto: alternativamente, \kappa(t)=\dfrac{\|T'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|}. Aqui \|T'(0)\|=\sqrt{2} e \|\mathbf{r}'(0)\|=1, chega-se ao mesmo resultado.)
Passo 6
Calcular o vetor normal unitário N(0). Explico a relação usada.
Definição: o vetor normal unitário é
N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|}.
Posso obter T'(0) de forma direta porque \|\mathbf{r}'(0)\|=1, então T(t)=\mathbf{r}'(t) em torno de t=0 no sentido de derivadas (mais precisamente, quando \|\mathbf{r}'\| é constante localmente, T'=\mathbf{r}''- projeção; aqui a projeção (\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}'')\mathbf{r}' é zero porque \mathbf{r}'(0)\cdot\mathbf{r}''(0)=0). Vou calcular explicitamente: