Seja \Omega o ret \tilde{\text { Angulo }} 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1. Calcule \iint_{\Omega} f(x, y) d x d y, sendo f(x, y) dada por:
y e^{x y}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo em detalhes para não perder nada):
  • A região \Omega é o retângulo com
1 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le 1.
  • A função a ser integrada é
f(x,y)=y e^{x y}.
  • O que se pede: calcular a integral dupla
\iint_{\Omega} f(x,y)\,dx\,dy.
Resumo da pergunta: avaliar a integral dupla \iint_{\Omega} y e^{x y}\,dx\,dy sobre o retângulo dado.

Passo 2

Como proceder (escolha do método): dado que \Omega é um retângulo e f(x,y)=y e^{x y} é contínua em \Omega, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (teorema de Fubini). Isso quer dizer que
\iint_{\Omega} y e^{x y}\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=1}^{2} y e^{x y}\,dx\right)dy
ou, alternativamente, integrando primeiro em y. Vou integrar primeiro em x porque a primitiva em x é imediata: a derivada de e^{x y} em relação a x é y e^{x y}, então a integral em x fica simples. Antes de integrar, uma nota didática rápida sobre essa observação.
Aula rápida (motivação da técnica):
  • Quando se integra em x tratando y como constante, y é apenas um parâmetro.
  • Observação chave: para qualquer y fixo,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\bigr)=y e^{x y}.
Logo y e^{x y} é a derivada em x da função e^{x y}, portanto a primitiva em x é e^{x y}. Isso vale inclusive para y=0 (neste caso ambas as funções são zero ou constantes compatíveis), então não há problema nos extremos.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=1}^{2} y e^{x y}\,dx.
Usando a observação anterior, uma primitiva de y e^{x y} em relação a x é e^{x y}. Portanto, aplicando o teorema fundamental do cálculo,
\int_{x=1}^{2} y e^{x y}\,dx = \left. e^{x y}\right|_{x=1}^{x=2} = e^{2y}-e^{y}.
Comentário didático: outra forma de ver é fazer a substituição u=x y quando y\neq0; então du = y\,dx e a integral em x torna-se \int e^{u}\,du, que dá e^{u}, compatível com o resultado acima. Para y=0 o integrando é zero e o resultado limite coincide.

Passo 4

Agora integrar o resultado em y sobre 0\le y\le1:
\int_{y=0}^{1} \bigl(e^{2y}-e^{y}\bigr)\,dy.
Vamos calcular cada termo separadamente. Lembremos das primitivas:
  • Uma primitiva de e^{2y} é \dfrac{1}{2}e^{2y}, porque \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{1}{2}e^{2y}\right)=e^{2y}.
  • Uma primitiva de e^{y} é e^{y}.
Portanto,
\int_{0}^{1} e^{2y}\,dy = \left.\frac{1}{2}e^{2y}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2},
\int_{0}^{1} e^{y}\,dy = \left.e^{y}\right|_{0}^{1}=e-1.

Passo 5

Subtrair os dois resultados para obter a integral total:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{2y}-e^{y}\bigr)\,dy = \left(\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}\right)-\bigl(e-1\bigr).
Agora simplificar:
\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}-e+1 = \frac{1}{2}e^{2}-e+\frac{1}{2}.

Passo 6

Forma elegante: fatorando \tfrac{1}{2} obtemos
\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-2e+1\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr)^{2}.
Assim a integral dupla tem uma forma muito simples e bonita.

Resposta

\dfrac{1}{2}\bigl(e-1\bigr)^{2}

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