Seja \Omega o ret \tilde{\text { Angulo }}1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1. Calcule \iint_{\Omega} f(x, y) d x d y, sendo f(x, y) dada por:
y e^{x y}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo em detalhes para não perder nada):
A região \Omega é o retângulo com
1 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le 1.
A função a ser integrada é
f(x,y)=y e^{x y}.
O que se pede: calcular a integral dupla
\iint_{\Omega} f(x,y)\,dx\,dy.
Resumo da pergunta: avaliar a integral dupla \iint_{\Omega} y e^{x y}\,dx\,dy sobre o retângulo dado.
Passo 2
Como proceder (escolha do método): dado que \Omega é um retângulo e f(x,y)=y e^{x y} é contínua em \Omega, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (teorema de Fubini). Isso quer dizer que
\iint_{\Omega} y e^{x y}\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=1}^{2} y e^{x y}\,dx\right)dy
ou, alternativamente, integrando primeiro em y. Vou integrar primeiro em x porque a primitiva em x é imediata: a derivada de e^{x y} em relação a x é y e^{x y}, então a integral em x fica simples. Antes de integrar, uma nota didática rápida sobre essa observação.
Aula rápida (motivação da técnica):
Quando se integra em x tratando y como constante, y é apenas um parâmetro.
Logo y e^{x y} é a derivada em x da função e^{x y}, portanto a primitiva em x é e^{x y}. Isso vale inclusive para y=0 (neste caso ambas as funções são zero ou constantes compatíveis), então não há problema nos extremos.
Passo 3
Calcular a integral interna em x:
\int_{x=1}^{2} y e^{x y}\,dx.
Usando a observação anterior, uma primitiva de y e^{x y} em relação a x é e^{x y}. Portanto, aplicando o teorema fundamental do cálculo,
\int_{x=1}^{2} y e^{x y}\,dx = \left. e^{x y}\right|_{x=1}^{x=2} = e^{2y}-e^{y}.
Comentário didático: outra forma de ver é fazer a substituição u=x y quando y\neq0; então du = y\,dx e a integral em x torna-se \int e^{u}\,du, que dá e^{u}, compatível com o resultado acima. Para y=0 o integrando é zero e o resultado limite coincide.
Passo 4
Agora integrar o resultado em y sobre 0\le y\le1:
\int_{y=0}^{1} \bigl(e^{2y}-e^{y}\bigr)\,dy.
Vamos calcular cada termo separadamente. Lembremos das primitivas:
Uma primitiva de e^{2y} é \dfrac{1}{2}e^{2y}, porque \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{1}{2}e^{2y}\right)=e^{2y}.