Calcule a integral dupla.
\iint_{D} x d A; onde D é a região limitada por x=0, x=\ln y e y=e.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,dA,
onde D é a região limitada por x=0, x=\ln y e y=e.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
  • As curvas que limitam D são: a reta vertical x=0, a curva x=\ln y (equivalente a y=e^{x}) e a reta horizontal y=e.
  • As interseções importantes:
    • x=0 e x=\ln y se intersectam quando 0=\ln y, ou seja em y=1.
    • Na reta y=e temos \ln y=\ln e=1, então a curva x=\ln y atinge x=1 em y=e.
  • Portanto a região D é aquele conjunto de pontos (x,y) com y variando entre 1 e e e, para cada y nesse intervalo, x variando entre 0 e \ln y.

Passo 2

Escolher a ordem de integração: como as curvas dão explicitamente x em função de y (temos x=0 e x=\ln y), é natural integrar primeiro em x (limites em termos de y) e depois em y.
Assim escrevemos a integral iterada:
\iint_{D} x\,dA \;=\; \int_{y=1}^{e}\left(\int_{x=0}^{\ln y} x\,dx\right)dy.
Explicando: aqui dA é o elemento de área e, no sistema de coordenadas cartesianas, dA = dx\,dy. A integral interna \int_{x=0}^{\ln y} x\,dx soma a contribuição de x ao longo do segmento horizontal para um y fixo; a integral externa \int_{1}^{e}\cdots dy soma essas contribuições para todos os y entre 1 e e.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{\ln y} x\,dx.
Usamos a primitiva de x, que é \dfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{\ln y} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{\ln y} = \dfrac{(\ln y)^{2}}{2}.
Substituindo na integral total, obtemos:
\iint_{D} x\,dA = \int_{1}^{e} \dfrac{(\ln y)^{2}}{2}\,dy = \dfrac{1}{2}\int_{1}^{e} (\ln y)^{2}\,dy.

Passo 4

Resolver a integral em y
\int_{1}^{e} (\ln y)^{2}\,dy.
Fica mais simples com a substituição t=\ln y. Vamos transformá-la passo a passo:
  • Se t=\ln y, então y=e^{t}.
  • Diferenciando, dt=\dfrac{1}{y}\,dy, ou seja dy = e^{t}\,dt.
  • Quando y=1 temos t=\ln 1 = 0.
  • Quando y=e temos t=\ln e = 1.
Portanto
\int_{1}^{e} (\ln y)^{2}\,dy = \int_{t=0}^{1} t^{2}\,e^{t}\,dt.
E a integral original vira
\iint_{D} x\,dA = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} t^{2}e^{t}\,dt.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} t^{2}e^{t}\,dt por integração por partes. Vou achar a primitiva de t^{2}e^{t} e depois avaliar nos limites.
Fazer integração por partes uma vez com:
u=t^{2},\qquad dv=e^{t}dt.
Então du=2t\,dt e v=e^{t}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int t^{2}e^{t}\,dt = t^{2}e^{t} - \int 2t e^{t}\,dt.
Agora calcular \int 2t e^{t}\,dt = 2\int t e^{t}\,dt. Integramos por partes novamente em \int t e^{t}\,dt com
u=t,\qquad dv=e^{t}dt,
logo du=dt, v=e^{t}, e
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t}.
Multiplicando por 2,
\int 2t e^{t}\,dt = 2t e^{t} - 2e^{t}.
Voltando à expressão anterior:
\int t^{2}e^{t}\,dt = t^{2}e^{t} - \bigl(2t e^{t} - 2e^{t}\bigr) = e^{t}\bigl(t^{2} - 2t + 2\bigr) + C.
Agora avaliamos de t=0 a t=1:
\int_{0}^{1} t^{2}e^{t}\,dt = \left.e^{t}\bigl(t^{2}-2t+2\bigr)\right|_{0}^{1}.
Calcular os valores:
  • Em t=1: e^{1}\bigl(1^{2}-2\cdot 1+2\bigr)=e\cdot(1-2+2)=e\cdot 1 = e.
  • Em t=0: e^{0}\bigl(0^{2}-2\cdot 0+2\bigr)=1\cdot 2 = 2.
Logo
\int_{0}^{1} t^{2}e^{t}\,dt = e - 2.

Passo 6

Voltar ao fator \dfrac{1}{2} que estava fora da integral:
\iint_{D} x\,dA = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} t^{2}e^{t}\,dt = \dfrac{1}{2}(e-2).

Resposta

\dfrac{e-2}{2}

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