Calcule a integral dupla. \iint_{D} x d A; onde D é a região limitada por x=0, x=\ln y e y=e.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,dA,
onde D é a região limitada por x=0, x=\ln y e y=e.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
As curvas que limitam D são: a reta vertical x=0, a curva x=\ln y (equivalente a y=e^{x}) e a reta horizontal y=e.
As interseções importantes:
x=0 e x=\ln y se intersectam quando 0=\ln y, ou seja em y=1.
Na reta y=e temos \ln y=\ln e=1, então a curva x=\ln y atinge x=1 em y=e.
Portanto a região D é aquele conjunto de pontos (x,y) com y variando entre 1 e e e, para cada y nesse intervalo, x variando entre 0 e \ln y.
Passo 2
Escolher a ordem de integração: como as curvas dão explicitamente x em função de y (temos x=0 e x=\ln y), é natural integrar primeiro em x (limites em termos de y) e depois em y.
Explicando: aqui dA é o elemento de área e, no sistema de coordenadas cartesianas, dA = dx\,dy. A integral interna \int_{x=0}^{\ln y} x\,dx soma a contribuição de x ao longo do segmento horizontal para um y fixo; a integral externa \int_{1}^{e}\cdots dy soma essas contribuições para todos os y entre 1 e e.
Passo 3
Calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{\ln y} x\,dx.
Usamos a primitiva de x, que é \dfrac{x^{2}}{2}. Então