Questão 1 Resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
O que se pede é encontrar a solução geral
dessa equação. Informações relevantes que vêm do enunciado:
- É uma equação linear de ordem 2.
- O membro direito é
. - Não foram dadas condições iniciais, logo vamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro obtemos a solução complementar (solução da equação homogênea associada). A equação homogênea é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo:
Para raízes complexas
a solução complementar é
Aqui
e
, portanto
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
para a parte não-homogênea. O termo do lado direito é da forma
, que coincide com a parte real de
. Observe que essa forma já aparece na solução complementar
. Quando o termo não-homogêneo tem a mesma forma que uma solução da homogênea, há ressonância e é preciso multiplicar a tentativa por um fator
.
Portanto, tentamos a forma (método dos coeficientes a determinar)
com
constantes a determinar. A escolha de multiplicar por
é porque a forma base
pertence ao espaço das soluções homogêneas uma única vez; multiplicar por
eleva o grau de independência e permite achar uma particular.
Passo 4
Para calcular
e
precisamos das derivadas de
. Definimos
Então
Calculemos
e
:
Agora derivamos
usando regra do produto cuidadosamente. Primeiro derivada:
Segunda derivada (aplicando produto e somando termos):
Passo 5
Substituímos
na equação diferencial à esquerda e simplificamos. Escrevendo tudo com fator
:
Agrupando termos semelhantes:
Agora usamos
. Substituindo:
Portanto a expressão à esquerda simplifica dramaticamente para
Passo 6
Queremos que
satisfaça a equação original, isto é
Pelo passo anterior isso equivale a
Logo
Mas também temos explicitamente
Igualando:
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema
Portanto
Passo 7
Com
e
encontrados, a solução particular é
A solução geral da equação diferencial é a soma da complementar com a particular:
onde
são constantes arbitrárias (determinam-se se houver condições iniciais).