Questão 1 Resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=e^{2 x} \cos 3 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
y''-4y'+13y=e^{2x}\cos 3x.
O que se pede é encontrar a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • É uma equação linear de ordem 2.
  • O membro direito é e^{2x}\cos 3x.
  • Não foram dadas condições iniciais, logo vamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução complementar (solução da equação homogênea associada). A equação homogênea é
y''-4y'+13y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-4r+13=0.
Resolvendo:
r=\frac{4\pm\sqrt{(-36)}}{2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i.
Para raízes complexas r= \alpha\pm i\beta a solução complementar é
y_c(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=2 e \beta=3, portanto
y_c(x)=e^{2x}\big(C_1\cos 3x + C_2\sin 3x\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p(x) para a parte não-homogênea. O termo do lado direito é da forma e^{2x}\cos 3x, que coincide com a parte real de e^{(2+3i)x}. Observe que essa forma já aparece na solução complementar y_c. Quando o termo não-homogêneo tem a mesma forma que uma solução da homogênea, há ressonância e é preciso multiplicar a tentativa por um fator x.
Portanto, tentamos a forma (método dos coeficientes a determinar)
y_p(x)=x e^{2x}\big(A\cos 3x + B\sin 3x\big),
com A,B constantes a determinar. A escolha de multiplicar por x é porque a forma base e^{2x}\cos3x pertence ao espaço das soluções homogêneas uma única vez; multiplicar por x eleva o grau de independência e permite achar uma particular.

Passo 4

Para calcular A e B precisamos das derivadas de y_p. Definimos
\varphi(x)=A\cos 3x + B\sin 3x.
Então
y_p = x e^{2x}\varphi(x).
Calculemos \varphi' e \varphi'':
\varphi'(x)=-3A\sin 3x + 3B\cos 3x,
\varphi''(x)=-9A\cos 3x -9B\sin 3x = -9\varphi(x).
Agora derivamos y_p usando regra do produto cuidadosamente. Primeiro derivada:
y_p' = e^{2x}\bigl((1+2x)\varphi(x) + x\varphi'(x)\bigr).
Segunda derivada (aplicando produto e somando termos):
y_p'' = e^{2x}\bigl((4+4x)\varphi(x) + (2+4x)\varphi'(x) + x\varphi''(x)\bigr).

Passo 5

Substituímos y_p, y_p', y_p'' na equação diferencial à esquerda e simplificamos. Escrevendo tudo com fator e^{2x}:
y_p''-4y_p'+13y_p = e^{2x}\Bigl[(4+4x)\varphi + (2+4x)\varphi' + x\varphi'' -4\big((1+2x)\varphi + x\varphi'\big) +13(x\varphi)\Bigr].
Agrupando termos semelhantes:
y_p''-4y_p'+13y_p = e^{2x}\Bigl(9x\varphi + 2\varphi' + x\varphi''\Bigr).
Agora usamos \varphi''=-9\varphi. Substituindo:
9x\varphi + 2\varphi' + x(-9\varphi) = 2\varphi'.
Portanto a expressão à esquerda simplifica dramaticamente para
y_p''-4y_p'+13y_p = e^{2x}\cdot 2\varphi'(x).

Passo 6

Queremos que y_p satisfaça a equação original, isto é
y_p''-4y_p'+13y_p = e^{2x}\cos 3x.
Pelo passo anterior isso equivale a
e^{2x}\cdot 2\varphi'(x) = e^{2x}\cos 3x \quad\Rightarrow\quad 2\varphi'(x)=\cos 3x.
Logo
\varphi'(x)=\tfrac{1}{2}\cos 3x.
Mas também temos explicitamente
\varphi'(x) = -3A\sin 3x + 3B\cos 3x.
Igualando:
-3A\sin 3x + 3B\cos 3x = \tfrac{1}{2}\cos 3x.
Igualando coeficientes de \cos 3x e \sin 3x obtemos o sistema
3B=\tfrac{1}{2},\qquad -3A=0.
Portanto
A=0,\qquad B=\tfrac{1}{6}.

Passo 7

Com A e B encontrados, a solução particular é
y_p(x)=x e^{2x}\bigl(0\cdot\cos 3x + \tfrac{1}{6}\sin 3x\bigr)=\tfrac{1}{6}x e^{2x}\sin 3x.
A solução geral da equação diferencial é a soma da complementar com a particular:
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=e^{2x}\big(C_1\cos 3x + C_2\sin 3x\big)+\tfrac{1}{6}x e^{2x}\sin 3x,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias (determinam-se se houver condições iniciais).

Resposta

y(x)=e^{2x}\bigl(C_1\cos 3x + C_2\sin 3x\bigr)+\frac{1}{6}x e^{2x}\sin 3x

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