Calcule a integral iterada.
\int_{1}^{3 / 2} \int_{y}^{3-y} y d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{3/2}\int_{y}^{3-y} y\,dx\,dy.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O integrando é y (uma função que depende só de y).
  • A integração interna é em x, com limite inferior x=y e limite superior x=3-y.
  • A integração externa é em y, de y=1 até y=3/2.
    Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Entendimento prático: quando fazemos \int_{y}^{3-y} y\,dx estamos integrando em x tratando y como constante (pois a variável de integração é x). Então a integral interna será simplesmente y multiplicado pelo comprimento do intervalo em x, que é (3-y)-y.

Passo 3

Calcule a integral interna usando que y é constante em relação a x:
\int_{y}^{3-y} y\,dx = y\bigl[(3-y)-y\bigr].

Passo 4

Simplifique a expressão obtida:
y\bigl[(3-y)-y\bigr] = y(3-2y) = 3y-2y^{2}.
Assim a integral iterada se reduz a uma integral simples em y:
\int_{1}^{3/2} (3y-2y^{2})\,dy.

Passo 5

Calcule a primitiva (anti-derivada) de 3y-2y^{2}. Usando a regra \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para potências:
\int (3y-2y^{2})\,dy = \frac{3}{2}y^{2}-\frac{2}{3}y^{3} + C.

Passo 6

Avalie a primitiva entre os limites y=1 e y=3/2. Primeiro o valor em y=3/2:
\frac{3}{2}\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\frac{2}{3}\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{3} = \frac{3}{2}\cdot\frac{9}{4}-\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{8} = \frac{27}{8}-\frac{9}{4} = \frac{9}{8}.
Agora o valor em y=1:
\frac{3}{2}\cdot 1^{2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3} = \frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}.

Passo 7

Subtraia os valores para obter a integral definida (sem simplificar o resultado final nesta etapa):
\frac{9}{8}-\frac{5}{6}.

Resposta

\frac{7}{24}

Exercícios relacionados